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provar (1-cos(B))(1+cos(B))= 1/(csc^2(B))

Solução

provar

(1 - cos (B)) (1 + cos (B)) = \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Verdadeiro

Passos da solução

(1 - cos (B)) (1 + cos (B)) = \frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1}{csc ^{2} ( B )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{( \frac{1}{s i n ( B )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{1}{( \frac{1}{s i n ( B )} ) ^{2}} : sin^{2} (B)

\frac{1}{( \frac{1}{s i n ( B )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( B )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( B )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

= \frac{1}{\frac{1}{s i n ^{2} ( B )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( B )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= sin^{2} (B)

= sin^{2} (B)

= sin^{2} (B)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin^{2} (B)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (B) + sin^{2} (B) = 1

sin^{2} (B) = 1 - cos^{2} (B)

= 1 - cos^{2} (B)

Fatorar

1 - cos^{2} (B) : (1 + cos (B)) (1 - cos (B))

1 - cos^{2} (B)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

B^{2} - y^{2} = (B + y) (B - y)

1 - cos^{2} (B) = (1 + cos (B)) (1 - cos (B))

= (1 + cos (B)) (1 - cos (B))

= (1 + cos (B)) (1 - cos (B))

= (1 + cos (B)) (1 - cos (B))

= (1 - cos (B)) (1 + cos (B))

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cot (θ) - tan (θ) = 2 cot (2 θ)

p ro v e sin^{2} (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

p ro v e cot (2 x) = \frac{sec ( x ) + csc ( x )}{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}

p ro v e cos (- x) = - cos (x)

p ro v e sin^{2} (x) cos^{2} (x) = \frac{1}{4} sin^{2} (2 x)