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受欢迎的三角函数 >

证明 sin(x/2)*cos(x/2)= 1/2 sin(x)

解答

证明

sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

解答

真

求解步骤

sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

令

: u = \frac{x}{2}

sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

证明

sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u) :

真

sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

调整右侧

\frac{1}{2} sin (2 u)

使用三角恒等式改写

\frac{1}{2} sin (2 u)

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1}{2} \cdot 2 sin (u) cos (u)

化简

\frac{1}{2} \cdot 2 sin (u) cos (u) : sin (u) cos (u)

\frac{1}{2} \cdot 2 sin (u) cos (u)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin (u) cos (u)

约分:

2

= sin (u) cos (u) \cdot 1

乘以:

cos (u) \cdot 1 = cos (u)

= sin (u) cos (u)

= sin (u) cos (u)

= sin (u) cos (u)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

因此

sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin(2x)+sin(2y)=2sin(x+y)cos(x-y)

p ro v e sin (2 x) + sin (2 y) = 2 sin (x + y) cos (x - y)

证明 cot(x)-csc^2(x)cot(x)=-cot^3(x)

p ro v e cot (x) - csc^{2} (x) cot (x) = - cot^{3} (x)

证明 cot(x-pi/2)=-tan(x)

p ro v e cot (x - \frac{π}{2}) = - tan (x)

证明 (1+tan^2(θ))/(1-tan^2(θ))=sec(2θ)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = sec (2 θ)

证明 cos^2(3x)-sin^2(3x)=cos(6x)

p ro v e cos^{2} (3 x) - sin^{2} (3 x) = cos (6 x)