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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+tan^2(θ))/(1-tan^2(θ))=sec(2θ)

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = sec (2 θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = sec (2 θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( 2 θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( 2 θ )}

= \frac{1}{cos ( 2 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 θ)

sec (2 θ)

sec (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos^2(3x)-sin^2(3x)=cos(6x)

p ro v e cos^{2} (3 x) - sin^{2} (3 x) = cos (6 x)

beweisen (cos(t))/(1-sin(t))=sec(t)+tan(t)

p ro v e \frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} = sec (t) + tan (t)

beweisen sin(2x)=2(cos(x))/(csc(x))

p ro v e sin (2 x) = 2 \frac{cos ( x )}{csc ( x )}

beweisen 2sin(30)cos(30)=sin(60)

p ro v e 2 sin (3 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) = sin (6 0^{\circ})

beweisen sin(2x)=(2sin(x))/(sec(x))

p ro v e sin (2 x) = \frac{2 sin ( x )}{sec ( x )}