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beweisen tan(x)(csc^{(2)}(x)-1)=cot(x)

Lösung

beweisen

tan (x) (csc^{(2)} (x) - 1) = cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (x) (csc^{2} (x) - 1) = cot (x)

Manipuliere die linke Seite

tan (x) (csc^{2} (x) - 1)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + csc^{2} (x)) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x )}

(- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( - 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2} )}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x ) ( \frac{1}{s i n ^{2} ( x )} - 1 )}{cos ( x )}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x )}

sin (x) \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( x ) + 1 ) sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x )}}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

p ro v e csc (x) tan (x) = \frac{1}{cos ( x )}

p ro v e sin (x + y) sin (x - y) = sin (2 x) - sin (2 y)

p ro v e sin (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2}

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) = cot (θ)