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beweisen cos(t)+tan(t)sin(t)=sec(t)

Lösung

beweisen

cos (t) + tan (t) sin (t) = sec (t)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (t) + tan (t) sin (t) = sec (t)

Manipuliere die linke Seite

cos (t) + tan (t) sin (t)

Drücke mit sin, cos aus

cos (t) + sin (t) tan (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos (t) + sin (t) \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Vereinfache

cos (t) + sin (t) \frac{sin ( t )}{cos ( t )} : \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

cos (t) + sin (t) \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

sin (t) \frac{sin ( t )}{cos ( t )} = \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

sin (t) \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( t ) sin ( t )}{cos ( t )}

sin (t) sin (t) = sin^{2} (t)

sin (t) sin (t)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (t) sin (t) = sin^{1 + 1} (t)

= sin^{1 + 1} (t)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (t)

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= cos (t) + \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (t) = \frac{cos ( t ) cos ( t )}{cos ( t )}

= \frac{cos ( t ) cos ( t )}{cos ( t )} + \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( t ) cos ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

cos (t) cos (t) + sin^{2} (t) = cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

cos (t) cos (t) + sin^{2} (t)

cos (t) cos (t) = cos^{2} (t)

cos (t) cos (t)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (t) cos (t) = cos^{1 + 1} (t)

= cos^{1 + 1} (t)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (t)

= cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( t )}

= \frac{1}{cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( t )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( t )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (t)

sec (t)

sec (t)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (4 θ) = 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

p ro v e cos^{6} (10 5^{\circ}) = (\frac{1 + cos ( 21 0 ^{\circ} )}{2})^{3}

p ro v e 1 + tan^{2} (4 5^{\circ}) = sec^{2} (4 5^{\circ})

p ro v e \frac{cot ( x )}{cos ( x )} = csc (x)

p ro v e \frac{sin ( x ) cos ( x )}{tan ( x )} = cos^{2} (x)