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verificar tan(x/2)=(sin(x))/(cos(x)+1)

Solución

verificar

tan (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) + 1}

Verdadero

Pasos de solución

tan (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) + 1}

Sea:

u = \frac{x}{2}

tan (u) = \frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u ) + 1}

Verificar

tan (u) = \frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u ) + 1} :

Verdadero

tan (u) = \frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u ) + 1}

Manipular el lado izquierdo

\frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u ) + 1}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u ) + 1}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{cos ( 2 u ) + 1}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{2 cos ^{2} ( u ) - 1 + 1}

Simplificar

\frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{2 cos ^{2} ( u ) - 1 + 1} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{2 cos ^{2} ( u ) - 1 + 1}

- 1 + 1 = 0

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{2 cos ^{2} ( u )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( u ) cos ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Por lo tanto

tan (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) + 1}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

\frac{sin ( x ) csc ( x )}{cos ( x )} = sec (x)

tan (x) + sec (x) = 1

- sinh^{2} (x) + cosh^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 + cos ( x )} = csc (x) (1 + cos^{2} (x))