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provar (cos(β))/(tan(β))=csc(β)-sin(β)

Solução

provar

\frac{cos ( β )}{tan ( β )} = csc (β) - sin (β)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{cos ( β )}{tan ( β )} = csc (β) - sin (β)

Manipular o lado direito

\frac{cos ( β )}{tan ( β )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{cos ( β )}{tan ( β )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( β )}{\frac{s i n ( β )}{c o s ( β )}}

Simplificar

\frac{cos ( β )}{\frac{s i n ( β )}{c o s ( β )}} : \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

\frac{cos ( β )}{\frac{s i n ( β )}{c o s ( β )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( β ) cos ( β )}{sin ( β )}

cos (β) cos (β) = cos^{2} (β)

cos (β) cos (β)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (β) cos (β) = cos^{1 + 1} (β)

= cos^{1 + 1} (β)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Manipular o lado esquerdo

csc (β) - sin (β)

Expresar com seno, cosseno

csc (β) - sin (β)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( β )} - sin (β)

Simplificar

\frac{1}{sin ( β )} - sin (β) : \frac{1 - sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

\frac{1}{sin ( β )} - sin (β)

Converter para fração:

sin (β) = \frac{sin ( β ) sin ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1}{sin ( β )} - \frac{sin ( β ) sin ( β )}{sin ( β )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( β ) sin ( β )}{sin ( β )}

1 - sin (β) sin (β) = 1 - sin^{2} (β)

1 - sin (β) sin (β)

sin (β) sin (β) = sin^{2} (β)

sin (β) sin (β)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (β) sin (β) = sin^{1 + 1} (β)

= sin^{1 + 1} (β)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (β)

= 1 - sin^{2} (β)

= \frac{1 - sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 - sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cos (3 t) = 4 cos^{3} (t) - 3 cos (t)

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

p ro v e \frac{1}{csc ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}

p ro v e 1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

p ro v e sec (0) - cos (0) = tan (0) sin (0)