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beweisen 1+tan^2(A)=sec^3(A)cos(A)

Lösung

beweisen

1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

Manipuliere die linke Seite

1 + tan^{2} (A)

Drücke mit sin, cos aus

1 + tan^{2} (A)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( A )}{cos ( A )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{sin ( A )}{cos ( A )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

1 + (\frac{sin ( A )}{cos ( A )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )} + \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (A) = cos^{2} (A)

= \frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

Manipuliere die rechte Seite

sec^{3} (A) cos (A)

Drücke mit sin, cos aus

cos (A) sec^{3} (A)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (A) (\frac{1}{cos ( A )})^{3}

Vereinfache

cos (A) (\frac{1}{cos ( A )})^{3} : \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

cos (A) (\frac{1}{cos ( A )})^{3}

(\frac{1}{cos ( A )})^{3} = \frac{1}{cos ^{3} ( A )}

(\frac{1}{cos ( A )})^{3}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{3}}{cos ^{3} ( A )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{3} = 1

= \frac{1}{cos ^{3} ( A )}

= \frac{1}{cos ^{3} ( A )} cos (A)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( A )}{cos ^{3} ( A )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (A) = cos (A)

= \frac{cos ( A )}{cos ^{3} ( A )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (A)

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (0) - cos (0) = tan (0) sin (0)

p ro v e 1 - sin (θ) cos (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

p ro v e tan^{2} (x) + sin (x) csc (x) = sec^{2} (x)

p ro v e cos^{2} (9 θ) - sin^{2} (9 θ) = cos (18 θ)

p ro v e sec (x) csc (x) = 2 csc (2 x)