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beweisen cos(2y)=(1-tan^2(y))/(1+tan^2(y))

Lösung

beweisen

cos (2 y) = \frac{1 - tan ^{2} ( y )}{1 + tan ^{2} ( y )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 y) = \frac{1 - tan ^{2} ( y )}{1 + tan ^{2} ( y )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( y )}{1 + tan ^{2} ( y )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( y )}{1 + tan ^{2} ( y )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

1 + \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (y) = cos^{2} (y)

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}{\frac{c o s ^{2} ( y ) + s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

1 - \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} - \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (y) = cos^{2} (y)

= \frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( y ) - s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}{\frac{c o s ^{2} ( y ) + s i n ^{2} ( y )}{c o s ^{2} ( y )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y ) ) cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y ) ( cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (y)

= \frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( y ) - sin ^{2} ( y )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (y) - sin^{2} (y)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 y)

= cos (2 y)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 5 sec^{2} (x) + 4 = 9 sec^{2} (x) - 4 tan^{2} (x)

p ro v e cos (20 π - x) + sin (\frac{83 π}{2} + x) = 0

p ro v e sin (x) sin (2 x) + cos (x) cos (2 x) = cos (x)

p ro v e 45 - 25 sin (- 120 π t) = 45 + 25 sin (120 π t)

p ro v e cos^{2} (x) - sin^{2} (y) = 1 - 2 sin^{2} (y)