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人気のある三角関数 >

証明する (cos(3θ))/(cos(θ))=1-4sin^2(θ)

解

証明する

\frac{cos ( 3 θ )}{cos ( θ )} = 1 - 4 sin^{2} (θ)

解

真

解答ステップ

\frac{cos ( 3 θ )}{cos ( θ )} = 1 - 4 sin^{2} (θ)

左側を操作する

\frac{cos ( 3 θ )}{cos ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{cos ( 3 θ )}{cos ( θ )}

次の恒等を使用する:

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

三角関数の公式を使用して書き換える

cos (3 x)

書き換え

= cos (2 x + x)

角の和の公式を使用する:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

簡素化

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

拡張

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

拡張

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

簡素化

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

数を足す:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

乗算:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

拡張

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

簡素化

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

数を足す:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

簡素化

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

条件のようなグループ

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

類似した元を足す:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

類似した元を足す:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= \frac{4 cos ^{3} ( θ ) - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

簡素化

\frac{4 cos ^{3} ( θ ) - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )} : 4 cos^{2} (θ) - 3

\frac{4 cos ^{3} ( θ ) - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

因数

4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ) : cos (θ) (4 cos^{2} (θ) - 3)

4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{3} (θ) = cos (θ) cos^{2} (θ)

= 4 cos (θ) cos^{2} (θ) - 3 cos (θ)

共通項をくくり出す

cos (θ)

= cos (θ) (4 cos^{2} (θ) - 3)

= \frac{cos ( θ ) ( 4 cos ^{2} ( θ ) - 3 )}{cos ( θ )}

共通因数を約分する:

cos (θ)

= 4 cos^{2} (θ) - 3

= 4 cos^{2} (θ) - 3

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 4 (1 - sin^{2} (θ)) - 3

簡素化

4 (1 - sin^{2} (θ)) - 3 : - 4 sin^{2} (θ) + 1

4 (1 - sin^{2} (θ)) - 3

拡張

4 (1 - sin^{2} (θ)) : 4 - 4 sin^{2} (θ)

4 (1 - sin^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (θ)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (θ)

= 4 - 4 sin^{2} (θ) - 3

簡素化

4 - 4 sin^{2} (θ) - 3 : - 4 sin^{2} (θ) + 1

4 - 4 sin^{2} (θ) - 3

条件のようなグループ

= - 4 sin^{2} (θ) + 4 - 3

数を足す/引く:

4 - 3 = 1

= - 4 sin^{2} (θ) + 1

= - 4 sin^{2} (θ) + 1

= - 4 sin^{2} (θ) + 1

= - 4 sin^{2} (θ) + 1

= 1 - 4 sin^{2} (θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する (sin^2(θ))/(cos(θ))+cos(θ)=sec(θ)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} + cos (θ) = sec (θ)

証明する csc(u)-sin(u)=cot(u)cos(u)

p ro v e csc (u) - sin (u) = cot (u) cos (u)

証明する (tan(x))/(cot(x))=tan^2(x)

p ro v e \frac{tan ( x )}{cot ( x )} = tan^{2} (x)

証明する-1/2 =sin(-pi/(12))sqrt(2+\sqrt{3)}

p ro v e - \frac{1}{2} = sin (- \frac{π}{12}) 2 + 3

証明する sin(4x)=2sin(x)(cos(x)+cos(3x))

p ro v e sin (4 x) = 2 sin (x) (cos (x) + cos (3 x))