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beweisen 3-4cos^2(x)=(2sin(x)+1)(2sin(x)-1)

Lösung

beweisen

3 - 4 cos^{2} (x) = (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

Wahr

Schritte zur Lösung

3 - 4 cos^{2} (x) = (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

Manipuliere die linke Seite

3 - 4 cos^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 - 4 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 3 - 4 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

3 - 4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) - 1

3 - 4 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 + 4 sin^{2} (x)

- 4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (x)

= 3 - 4 + 4 sin^{2} (x)

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 4 = - 1

= 4 sin^{2} (x) - 1

= 4 sin^{2} (x) - 1

= 4 sin^{2} (x) - 1

Manipuliere die rechte Seite

(2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

Multipliziere aus

(- 1 + 2 sin (x)) (1 + 2 sin (x)) : 4 sin^{2} (x) - 1

(- 1 + 2 sin (x)) (1 + 2 sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 2 sin (x), b = 1

= (2 sin (x))^{2} - 1^{2}

Vereinfache

(2 sin (x))^{2} - 1^{2} : 4 sin^{2} (x) - 1

(2 sin (x))^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2 sin (x))^{2} - 1

(2 sin (x))^{2} = 4 sin^{2} (x)

(2 sin (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (x)

2^{2} = 4

= 4 sin^{2} (x)

= 4 sin^{2} (x) - 1

= 4 sin^{2} (x) - 1

= - 1 + 4 sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{2} (θ) = (\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

p ro v e \frac{1 + tan ( x )}{1 + \frac{1}{t a n ( x )}} = tan (x)

p ro v e cos (2 θ) = \frac{1}{sec ( 2 θ )}

p ro v e (cos (3 x) - cos (x)) = - 2 sin (2 x) sin (x)

p ro v e sec (\frac{π}{2} - y) = csc (y)