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3sin^2(x)+cos(x)-1>= 0

Solución

3 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Solución

- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Notación de intervalos

[- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn]

Notación decimal

- 2.30052 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.30052 \dots + 2 πn

Pasos de solución

3 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 \geq 0

Simplificar

3 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 : cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 2

3 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1

Expandir

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= 3 - 3 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Simplificar

3 - 3 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 : cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 2

3 - 3 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Agrupar términos semejantes

= - 3 cos^{2} (x) + cos (x) + 3 - 1

Sumar/restar lo siguiente:

3 - 1 = 2

= cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 2

= cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 2

cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 \geq 0

Sea:

u = cos (x)

u - 3 u^{2} + 2 \geq 0

u - 3 u^{2} + 2 \geq 0 : - \frac{2}{3} \leq u \leq 1

u - 3 u^{2} + 2 \geq 0

Factorizar

u - 3 u^{2} + 2 : - (3 u + 2) (u - 1)

u - 3 u^{2} + 2

Factorizar el termino común

- 1

= - (3 u^{2} - u - 2)

Factorizar

3 u^{2} - u - 2 : (3 u + 2) (u - 1)

3 u^{2} - u - 2

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

= 3 u^{2} - u - 2

Factorizar la expresión

3 u^{2} - u - 2

Definición

Factores de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

6 : 2, 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

6

1, 6

Divisores de

6

1, 2, 3, 6

Factores negativos de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 6

Por cada dos factores tales que

u * v = - 6,

revisar si

u + v = - 1

Revisar

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 3

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 2)

= (3 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 2)

Factorizar

u

3 u^{2} + 2 u

u (3 u + 2)

3 u^{2} + 2 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu + 2 u

Factorizar el termino común

u

= u (3 u + 2)

Factorizar

- 1

- 3 u - 2

- (3 u + 2)

- 3 u - 2

Factorizar el termino común

- 1

= - (3 u + 2)

= u (3 u + 2) - (3 u + 2)

Factorizar el termino común

3 u + 2

= (3 u + 2) (u - 1)

= - (3 u + 2) (u - 1)

- (3 u + 2) (u - 1) \geq 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- (3 u + 2) (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(3 u + 2) (u - 1) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(3 u + 2) (u - 1)

Encontrar los signos de

3 u + 2

3 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{3}

3 u + 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

3 u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

3 u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

3 u = - 2

3 u = - 2

Dividir ambos lados entre

3

3 u = - 2

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 2}{3}

Simplificar

u = - \frac{2}{3}

u = - \frac{2}{3}

3 u + 2 < 0 : u < - \frac{2}{3}

3 u + 2 < 0

Mover

2

al lado derecho

3 u + 2 < 0

Restar

2

de ambos lados

3 u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplificar

3 u < - 2

3 u < - 2

Dividir ambos lados entre

3

3 u < - 2

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 2}{3}

Simplificar

u < - \frac{2}{3}

u < - \frac{2}{3}

3 u + 2 > 0 : u > - \frac{2}{3}

3 u + 2 > 0

Mover

2

al lado derecho

3 u + 2 > 0

Restar

2

de ambos lados

3 u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplificar

3 u > - 2

3 u > - 2

Dividir ambos lados entre

3

3 u > - 2

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 2}{3}

Simplificar

u > - \frac{2}{3}

u > - \frac{2}{3}

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

3 u + 2 u - 1 (3 u + 2) (u - 1) u < - \frac{2}{3} - - + u = - \frac{2}{3} 0 - 0 - \frac{2}{3} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = - \frac{2}{3} or - \frac{2}{3} < u < 1 or u = 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{2}{3} \leq u < 1 or u = 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = - \frac{2}{3}

- \frac{2}{3} < u < 1

- \frac{2}{3} \leq u < 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

- \frac{2}{3} \leq u < 1

u = 1

- \frac{2}{3} \leq u \leq 1

- \frac{2}{3} \leq u \leq 1

- \frac{2}{3} \leq u \leq 1

- \frac{2}{3} \leq u \leq 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- \frac{2}{3} \leq cos (x) \leq 1

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- \frac{2}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

- \frac{2}{3} \leq cos (x) : - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

- \frac{2}{3} \leq cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) \geq - \frac{2}{3}

Para

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Verdadero para todo

x \in R

cos (x) \leq 1

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn and Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Ejemplos populares

cos(2x)+sin(2x)>= 1

cos (2 x) + sin (2 x) \geq 1

tan(β)<0,cos(β)<0

tan (β) < 0, cos (β) < 0

tan(x)+1>0

tan (x) + 1 > 0

csc(θ)>0

csc (θ) > 0

sin(x)cos(x)>1

sin (x) cos (x) > 1