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cos^2(3x)<= 1/4

Solución

cos^{2} (3 x) \leq \frac{1}{4}

Solución

\frac{π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n or \frac{4 π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

Notación de intervalos

[\frac{π}{9} + \frac{2 π}{3} n, \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n] \cup [\frac{4 π}{9} + \frac{2 π}{3} n, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n]

Notación decimal

0.34906 \dots + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq 0.69813 \dots + \frac{2 π}{3} n or 1.39626 \dots + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq 1.74532 \dots + \frac{2 π}{3} n

Pasos de solución

cos^{2} (3 x) \leq \frac{1}{4}

Para

u^{n} \leq a

, si

n

es par entonces

- \frac{1}{4} \leq cos (3 x) \leq \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} \leq cos (3 x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- \frac{1}{2} \leq cos (3 x) and cos (3 x) \leq \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} \leq cos (3 x) : - \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

- \frac{1}{2} \leq cos (3 x)

Intercambiar lados

cos (3 x) \geq - \frac{1}{2}

Para

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x and 3 x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x : x \geq - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x

Intercambiar lados

3 x \geq - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{2 π}{3} + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3} + 2 πn

3 x \geq - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x \geq - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} \geq - \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} \geq - \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

- \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3} : - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

- \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{3} = \frac{2 π}{9}

\frac{\frac{2 π}{3}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= \frac{2 π}{9}

= - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \geq - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \geq - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \geq - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

3 x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

3 x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{2 π}{3} + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3} + 2 πn

3 x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} \leq \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} \leq \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{3} = \frac{2 π}{9}

\frac{\frac{2 π}{3}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= \frac{2 π}{9}

= \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

Combinar los rangos

x \geq - \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3} and x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 πn}{3}

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

cos (3 x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

cos (3 x) \leq \frac{1}{2}

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x and 3 x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x : x \geq \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x

Intercambiar lados

3 x \geq arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{3} + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3} + 2 πn

3 x \geq \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x \geq \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} \geq \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} \geq \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{3}}{3} = \frac{π}{9}

\frac{\frac{π}{3}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= \frac{π}{9}

= \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \geq \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \geq \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \geq \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

3 x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

3 x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn : 2 π - \frac{π}{3} + 2 πn

2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3} + 2 πn

3 x \leq 2 π - \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x \leq 2 π - \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} \leq \frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} \leq \frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{2 π}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

\frac{2 π}{3} - \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{3}}{3} = \frac{π}{9}

\frac{\frac{π}{3}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= \frac{π}{9}

= \frac{2 π}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{2 π}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{2 π}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{9} : \frac{5 π}{9}

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{9}

Mínimo común múltiplo de

3, 9 : 9

3, 9

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

9 : 3 \cdot 3

9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 3 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

9

= 3 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{2 π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 3}{3 \cdot 3} = \frac{6 π}{9}

= \frac{6 π}{9} - \frac{π}{9}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{6 π - π}{9}

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{9}

x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

Combinar los rangos

x \geq \frac{π}{9} + \frac{2 πn}{3} and x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

Combinar los rangos

- \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n and \frac{π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3} n or \frac{4 π}{9} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{3} n

Ejemplos populares

sin(x)-1/2 sqrt(3)<0,-pi<= x<= pi

sin (x) - \frac{1}{2} 3 < 0, - π \leq x \leq π

sin(x)+cos(x)>= 1

sin (x) + cos (x) \geq 1

((1+cos(x))(1-cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

sin(θ)<0,tan(θ)<0

sin (θ) < 0, tan (θ) < 0

cos(x)<sin(2x)

cos (x) < sin (2 x)