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Beliebt Trigonometrie >

csc(x)>2

Lösung

csc (x) > 2

Lösung

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn)

Dezimale

2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

csc (x) > 2

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) > 2

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} > 2

\frac{1}{sin ( x )} > 2

Rewrite in standard form

\frac{1}{sin ( x )} > 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

\frac{1}{sin ( x )} - 2 > 2 - 2

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} - 2 > 0

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} - 2 : \frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - 2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )} > 0

\frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )} > 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )}

Finde die Vorzeichen von

1 - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) = 0 : sin (x) = \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 sin (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 sin (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 sin (x) = - 1

- 2 sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 sin ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) < 0 : sin (x) > \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 sin (x) < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 sin (x) - 1 < 0 - 1

Vereinfache

- 2 sin (x) < - 1

- 2 sin (x) < - 1

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- 2 sin (x) < - 1

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- 2 sin (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Vereinfache

2 sin (x) > 1

2 sin (x) > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) > \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) > 0 : sin (x) < \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 sin (x) > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 sin (x) - 1 > 0 - 1

Vereinfache

- 2 sin (x) > - 1

- 2 sin (x) > - 1

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- 2 sin (x) > - 1

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- 2 sin (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Vereinfache

2 sin (x) < 1

2 sin (x) < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (x) < \frac{1}{2}

sin (x) < \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

sin (x)

sin (x) = 0

sin (x) < 0

sin (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

sin (x) : sin (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 - 2 sin (x) sin (x) \frac{1 - 2 s i n ( x )}{s i n ( x )} sin (x) < 0 + - - sin (x) = 0 + 0 Unbestimmt 0 < sin (x) < \frac{1}{2} + + + sin (x) = \frac{1}{2} 0 + 0 sin (x) > \frac{1}{2} - + -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) > 0

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Vereinfache

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Vereinfache

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Vereinfache

- π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

Beliebte Beispiele

1+cos(2t)>0

1 + cos (2 t) > 0

cos(2x)>2cos(2x)-0.5

cos (2 x) > 2 cos (2 x) - 0.5

2sin(2x)-1>= 0

2 sin (2 x) - 1 \geq 0

-12cos(2x)+12sin(x)>0

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

(-1/5)*sin(2 pi/5 (x+1))+1<= 16/15

(- \frac{1}{5}) \cdot sin (2 \frac{π}{5} (x + 1)) + 1 \leq \frac{16}{15}