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Popular >

csc(x)>2

Solución

csc (x) > 2

Solución

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

Notación de intervalos

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn)

Notación decimal

2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn

Pasos de solución

csc (x) > 2

Expresar con seno, coseno

csc (x) > 2

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} > 2

\frac{1}{sin ( x )} > 2

Reescribir en la forma estándar

\frac{1}{sin ( x )} > 2

Restar

2

de ambos lados

\frac{1}{sin ( x )} - 2 > 2 - 2

Simplificar

\frac{1}{sin ( x )} - 2 > 0

Simplificar

\frac{1}{sin ( x )} - 2 : \frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - 2

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )} > 0

\frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )} > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{1 - 2 sin ( x )}{sin ( x )}

Encontrar los signos de

1 - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) = 0 : sin (x) = \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 sin (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 sin (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 2 sin (x) = - 1

- 2 sin (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 sin (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 sin ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplificar

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) < 0 : sin (x) > \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) < 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 sin (x) < 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 sin (x) - 1 < 0 - 1

Simplificar

- 2 sin (x) < - 1

- 2 sin (x) < - 1

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 2 sin (x) < - 1

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 2 sin (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Simplificar

2 sin (x) > 1

2 sin (x) > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x) > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) > \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) > 0 : sin (x) < \frac{1}{2}

1 - 2 sin (x) > 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 sin (x) > 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 sin (x) - 1 > 0 - 1

Simplificar

- 2 sin (x) > - 1

- 2 sin (x) > - 1

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 2 sin (x) > - 1

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 2 sin (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Simplificar

2 sin (x) < 1

2 sin (x) < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x) < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

sin (x) < \frac{1}{2}

sin (x) < \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

sin (x)

sin (x) = 0

sin (x) < 0

sin (x) > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

sin (x) : sin (x) = 0

Resumir en una tabla:

1 - 2 sin (x) sin (x) \frac{1 - 2 s i n ( x )}{s i n ( x )} sin (x) < 0 + - - sin (x) = 0 + 0 Sin definir 0 < sin (x) < \frac{1}{2} + + + sin (x) = \frac{1}{2} 0 + 0 sin (x) > \frac{1}{2} - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) > 0

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplificar

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplificar

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Simplificar

- π - \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Sumar elementos similares:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Combinar los rangos

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

Ejemplos populares

2cos(x)>sqrt(3)

2 cos (x) > 3

1+cos(2t)>0

1 + cos (2 t) > 0

2cos(x)>sqrt(2)

2 cos (x) > 2

cos(2x)>2cos(2x)-0.5

cos (2 x) > 2 cos (2 x) - 0.5

2sin(2x)-1>= 0

2 sin (2 x) - 1 \geq 0