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受欢迎的三角函数 >

-12cos(2x)+12sin(x)>0

解答

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

解答

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

+2

间隔符号

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

十进制

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

求解步骤

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

利用以下特性:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

- 12 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 12 sin (x) > 0

令

: u = sin (x)

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

改写为标准形式

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

乘开

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u : - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u

乘开

- 12 (1 - 2 u^{2}) : - 12 + 24 u^{2}

- 12 (1 - 2 u^{2})

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 12, b = 1, c = 2 u^{2}

= - 12 \cdot 1 - (- 12) \cdot 2 u^{2}

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

化简

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2} : - 12 + 24 u^{2}

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

数字相乘:

12 \cdot 1 = 12

= - 12 + 12 \cdot 2 u^{2}

数字相乘:

12 \cdot 2 = 24

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 + 24 u^{2} + 12 u > 0

两边除以

12

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

整理

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12} : 2 u^{2} + u - 1 > 0

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

化简

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} : 2 u^{2} + u - 1

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

数字相除:

\frac{24}{12} = 2

= - 1 + 2 u^{2} + \frac{12 u}{12}

数字相除:

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + 2 u^{2} + u

改写为标准形式

= 2 u^{2} + u - 1

\frac{0}{12} = 0

\frac{0}{12}

使用法则

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

分解

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

将表达式拆分成组

2 u^{2} + u - 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = - 2

，检验是否

u + v = 1

检验

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 1

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

从

2 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

因式分解出通项

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

确定区间

确定

(2 u - 1) (u + 1)

符号

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

总结如下表：

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u = sin (x)

代回

sin (x) < - 1 or sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) < - 1 :

对所有

x \in R

为假

sin (x) < - 1

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

假

令

y = sin (x)

合并区间

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y < - 1

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

sin (x) > \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) > \frac{1}{2}

对于

sin (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

化简

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

化简

π - \frac{π}{6}

将项转换为分式:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

同类项相加:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

合并区间

对所有 x \in R 为假 or \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

合并重叠的区间

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

流行的例子

(-1/5)*sin(2 pi/5 (x+1))+1<= 16/15

(- \frac{1}{5}) \cdot sin (2 \frac{π}{5} (x + 1)) + 1 \leq \frac{16}{15}

cos(x)>=-(sqrt(2))/2

cos (x) \geq - \frac{2}{2}

3 sin (t) \geq 0

2sin(2x)+1/2 <= 1/2

2 sin (2 x) + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}

3 tan^{2} (x) > 1