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Populaire Trigonométrie >

-12cos(2x)+12sin(x)>0

Solution

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

Solution

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Décimale

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

étapes des solutions

- 12 cos (2 x) + 12 sin (x) > 0

Utiliser les identités suivantes:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

- 12 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 12 sin (x) > 0

Soit :

u = sin (x)

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

Récrire sous la forme standard

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u > 0

Développer

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u : - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 (1 - 2 u^{2}) + 12 u

Développer

- 12 (1 - 2 u^{2}) : - 12 + 24 u^{2}

- 12 (1 - 2 u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 12, b = 1, c = 2 u^{2}

= - 12 \cdot 1 - (- 12) \cdot 2 u^{2}

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

Simplifier

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2} : - 12 + 24 u^{2}

- 12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 u^{2}

Multiplier les nombres :

12 \cdot 1 = 12

= - 12 + 12 \cdot 2 u^{2}

Multiplier les nombres :

12 \cdot 2 = 24

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2}

= - 12 + 24 u^{2} + 12 u

- 12 + 24 u^{2} + 12 u > 0

Diviser les deux côtés par

12

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

Redéfinir

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12} : 2 u^{2} + u - 1 > 0

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} > \frac{0}{12}

Simplifier

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12} : 2 u^{2} + u - 1

- \frac{12}{12} + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + \frac{24 u ^{2}}{12} + \frac{12 u}{12}

Diviser les nombres :

\frac{24}{12} = 2

= - 1 + 2 u^{2} + \frac{12 u}{12}

Diviser les nombres :

\frac{12}{12} = 1

= - 1 + 2 u^{2} + u

Récrire sous la forme standard

= 2 u^{2} + u - 1

\frac{0}{12} = 0

\frac{0}{12}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

2 u^{2} + u - 1 > 0

Factoriser

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} + u - 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

vrai

u = 2, v = - 1

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factoriser le terme commun

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 u - 1) (u + 1)

Trouver les signes de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 u < 1

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 u > 1

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trouver les signes de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

u > - 1

u > - 1

Récapituler dans un tableau:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) < - 1 or sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) < - 1 :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) < - 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

sin (x) > \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) > \frac{1}{2}

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplifier

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplifier

π - \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Additionner les éléments similaires :

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Exemples populaires

(-1/5)*sin(2 pi/5 (x+1))+1<= 16/15

(- \frac{1}{5}) \cdot sin (2 \frac{π}{5} (x + 1)) + 1 \leq \frac{16}{15}

cos(x)>=-(sqrt(2))/2

cos (x) \geq - \frac{2}{2}

3sin(t)>= 0

3 sin (t) \geq 0

2sin(2x)+1/2 <= 1/2

2 sin (2 x) + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}

3tan^2(x)>1

3 tan^{2} (x) > 1