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Popular >

2cos^2(2x)-3cos(2x)+1<0

Solución

2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) + 1 < 0

Solución

πn < x < \frac{π}{6} + πn or \frac{5 π}{6} + πn < x < π + πn

Notación de intervalos

(πn, \frac{π}{6} + πn) \cup (\frac{5 π}{6} + πn, π + πn)

Notación decimal

πn < x < 0.52359 \dots + πn or 2.61799 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) + 1 < 0

Sea:

u = cos (2 x)

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0 : \frac{1}{2} < u < 1

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0

Factorizar

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} - 3 u + 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = 2,

revisar si

u + v = - 3

Revisar

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Verdadero

u = - 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

Factorizar

- 1

- 2 u + 1

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u - 1)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (2 x)

\frac{1}{2} < cos (2 x) < 1

a < u < b

entonces

a < u and u < b

\frac{1}{2} < cos (2 x) and cos (2 x) < 1

\frac{1}{2} < cos (2 x) : - \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{6} + πn

\frac{1}{2} < cos (2 x)

Intercambiar lados

cos (2 x) > \frac{1}{2}

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < 2 x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < 2 x and 2 x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < 2 x : x > - \frac{π}{6} + πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < 2 x

Intercambiar lados

2 x > - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{3} + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3} + 2 πn

2 x > - \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x > - \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} > - \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} > - \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

- \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{6} + πn

- \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{3}}{2} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{6} + πn

x > - \frac{π}{6} + πn

x > - \frac{π}{6} + πn

x > - \frac{π}{6} + πn

2 x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn : x < \frac{π}{6} + πn

2 x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{3} + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3} + 2 πn

2 x < \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x < \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{6} + πn

\frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{3}}{2} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{6} + πn

x < \frac{π}{6} + πn

x < \frac{π}{6} + πn

x < \frac{π}{6} + πn

Combinar los rangos

x > - \frac{π}{6} + πn and x < \frac{π}{6} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{6} + πn

cos (2 x) < 1 : πn < x < π + πn

cos (2 x) < 1

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (1) + 2 πn < 2 x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

a < u < b

entonces

a < u and u < b

arccos (1) + 2 πn < 2 x and 2 x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

arccos (1) + 2 πn < 2 x : x > πn

arccos (1) + 2 πn < 2 x

Intercambiar lados

2 x > arccos (1) + 2 πn

Simplificar

arccos (1) + 2 πn : 2 πn

arccos (1) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

= 2 πn

2 x > 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x > 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} > \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x > πn

x > πn

2 x < 2 π - arccos (1) + 2 πn : x < π + πn

2 x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

Simplificar

2 π - arccos (1) + 2 πn : 2 π + 2 πn

2 π - arccos (1) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - 0 + 2 πn

2 π - 0 + 2 πn = 2 π + 2 πn

= 2 π + 2 πn

2 x < 2 π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x < 2 π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} < \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x < π + πn

x < π + πn

Combinar los rangos

x > πn and x < π + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn < x < π + πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{6} + πn and πn < x < π + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn < x < \frac{π}{6} + πn or \frac{5 π}{6} + πn < x < π + πn

Ejemplos populares

cos^2(x)<=-sin(x)

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

tan(θ)>0,sin(θ)<0

tan (θ) > 0, sin (θ) < 0

sin^2(x)> 15/40

sin^{2} (x) > \frac{15}{40}

(1+2sin(x))/((cos(2x)))>0

\frac{1 + 2 sin ( x )}{( cos ( 2 x ) )} > 0

(cos^2(x)-1/2)/(tan(x)-sqrt(3))<0

\frac{cos ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} < 0