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Popular Trigonometría >

(sin(x)+cos(x))^2>= 3-2tan(x)+tan^2(x)

Solución

(sin (x) + cos (x))^{2} \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x)

Solución

πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{2} + πn)

Decimal

πn \leq x < 1.57079 \dots + πn

Pasos de solución

(sin (x) + cos (x))^{2} \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x)

Restar

- 2 tan (x) + tan^{2} (x)

de ambos lados

(sin (x) + cos (x))^{2} - (- 2 tan (x) + tan^{2} (x)) \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x) - (- 2 tan (x) + tan^{2} (x))

(sin (x) + cos (x))^{2} - (- 2 tan (x) + tan^{2} (x)) \geq 3

Usar la siguiente identidad:

cos (x) + sin (x) = 2 sin (\frac{π}{4} + x)

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} - (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) \geq 3

Simplificar

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} - (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) : 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} - (tan^{2} (x) - 2 tan (x))

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} = 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x)

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= (2)^{2} sin^{2} (x + \frac{π}{4})

(2)^{2} : 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2

= 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x)

= 2 sin^{2} (x + \frac{π}{4}) - (tan^{2} (x) - 2 tan (x))

- (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) : - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

- (tan^{2} (x) - 2 tan (x))

Poner los parentesis

= - (tan^{2} (x)) - (- 2 tan (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

= 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x) \geq 3

Periodicidad de

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x), tan^{2} (x), 2 tan (x)

Periodicidad de

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) : π

Periodicidad de

sin^{n} (x) = \frac{Periodicidad de sin ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

sin (\frac{π}{4} + x) : 2 π

La periodicidad de

sin (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Periodicidad de

tan^{2} (x) : π

P er i o d i c i d a d d e tan^{n} (x) =

Periodicidad de

tan (x)

Periodicidad de

tan (x) : π

La periodicidad de

tan (x)

π

= π

π

Periodicidad de

2 tan (x) : π

La periodicidad de

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{periodicidad de tan ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

tan (x)

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= π

Combinar períodos:

π, π, π

= π

Expresar con seno, coseno

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x) \geq 3

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 3

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 3

Simplificar

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin^{2} (\frac{π}{4} + x) = sin^{2} (\frac{π + 4 x}{4})

sin^{2} (\frac{π}{4} + x)

Simplificar

\frac{π}{4} + x

en una fracción:

\frac{π + 4 x}{4}

\frac{π}{4} + x

Convertir a fracción:

x = \frac{x 4}{4}

= \frac{π}{4} + \frac{x \cdot 4}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + x \cdot 4}{4}

= sin^{2} (\frac{π + x \cdot 4}{4})

= 2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= 2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

Convertir a fracción:

2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) = \frac{2 sin ^{2} ( \frac{4 x + π}{4} )}{1}

= \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} )}{1} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

1, cos^{2} (x), cos (x) : cos^{2} (x)

1, cos^{2} (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan en al menos una de las expresiones factorizadas

= cos^{2} (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} )}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos^{2} (x)

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} )}{1} = \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot cos ^{2} ( x )} = \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Para

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} \geq 3

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos^{2} (x) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{2}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

Resumir en una tabla:

2 sin^{2} (\frac{π + 4 x}{4}) cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) cos^{2} (x) \frac{2 s i n ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x ) + 2 s i n ( x ) c o s ( x )}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} - 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < π - + - x = π + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or x = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2}

x = π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

Utilizar la periodicidad de

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Ejemplos populares

sqrt(3)cos(x)-sin(x)<= 0

3 cos (x) - sin (x) \leq 0

1/(tan(x))>cot(1/x)

\frac{1}{tan ( x )} > cot (\frac{1}{x})

-2cos(x)+1>0

- 2 cos (x) + 1 > 0

2sin^4(x)-3sin^2(x)+1>0

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

cos(x)+(sqrt(3))/2 <= 0

cos (x) + \frac{3}{2} \leq 0