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人気のある三角関数 >

(sin(x)+cos(x))^2>= 3-2tan(x)+tan^2(x)

解

(sin (x) + cos (x))^{2} \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x)

解

πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

+2

区間表記

[πn, \frac{π}{2} + πn)

十進法表記

πn \leq x < 1.57079 \dots + πn

解答ステップ

(sin (x) + cos (x))^{2} \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x)

両辺から

- 2 tan (x) + tan^{2} (x)

を引く

(sin (x) + cos (x))^{2} - (- 2 tan (x) + tan^{2} (x)) \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x) - (- 2 tan (x) + tan^{2} (x))

(sin (x) + cos (x))^{2} - (- 2 tan (x) + tan^{2} (x)) \geq 3

次の恒等を使用する:

cos (x) + sin (x) = 2 sin (\frac{π}{4} + x)

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} - (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) \geq 3

簡素化

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} - (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) : 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} - (tan^{2} (x) - 2 tan (x))

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2} = 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x)

(2 sin (\frac{π}{4} + x))^{2}

指数の規則を適用する:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= (2)^{2} sin^{2} (x + \frac{π}{4})

(2)^{2} : 2

累乗根の規則を適用する:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 2

= 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x)

= 2 sin^{2} (x + \frac{π}{4}) - (tan^{2} (x) - 2 tan (x))

- (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) : - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

- (tan^{2} (x) - 2 tan (x))

括弧を分配する

= - (tan^{2} (x)) - (- 2 tan (x))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

= 2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x) \geq 3

以下の周期性:

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x) : π

周期関数の合計の複合周期性は, 周期の最小公倍数である

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x), tan^{2} (x), 2 tan (x)

以下の周期性:

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) : π

n が偶数の場合は

sin^{n} (x) = \frac{Periodicity of sin ( x )}{2}

の周期性

以下の周期性:

sin (\frac{π}{4} + x) : 2 π

sin (x)

の周期性は

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

簡素化

π

以下の周期性:

tan^{2} (x) : π

tan^{n} (x)

の周期性

= tan (x)

の周期性

以下の周期性:

tan (x) : π

tan (x)

の周期性は

π

= π

π

以下の周期性:

2 tan (x) : π

の周期性

periodicity of tan (x) ∣ b ∣

tan (x)

の周期性は

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

簡素化

= π

周期を組み合わせる:

π, π, π

= π

サイン, コサインで表わす

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x) \geq 3

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 3

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \geq 3

簡素化

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin^{2} (\frac{π}{4} + x) = sin^{2} (\frac{π + 4 x}{4})

sin^{2} (\frac{π}{4} + x)

結合

\frac{π}{4} + x : \frac{π + 4 x}{4}

\frac{π}{4} + x

元を分数に変換する:

x = \frac{x 4}{4}

= \frac{π}{4} + \frac{x \cdot 4}{4}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + x \cdot 4}{4}

= sin^{2} (\frac{π + x \cdot 4}{4})

= 2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

乗じる

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= 2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

元を分数に変換する:

2 sin^{2} (\frac{4 x + π}{4}) = \frac{2 sin ^{2} ( \frac{4 x + π}{4} )}{1}

= \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} )}{1} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

以下の最小公倍数:

1, cos^{2} (x), cos (x) : cos^{2} (x)

1, cos^{2} (x), cos (x)

最小公倍数 (LCM)

因数分解された式の 1 つ以上に合わられる因数で構成された式を計算する

= cos^{2} (x)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

cos^{2} (x)

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} )}{1}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos^{2} (x)

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} )}{1} = \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot cos ^{2} ( x )} = \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + x \cdot 4}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} \geq 3

以下の

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

のゼロと未定義ポイントを求める

0 \leq x < π

ゼロを求めるには, 不等式をゼロに設定する

\frac{2 sin ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

未定義ポイントを求める:

x = \frac{π}{2}

分母のゼロを求める

cos^{2} (x) = 0

規則を適用

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

以下の一般解

cos (x) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{2}

区間を特定する

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

表で要約する:

2 sin^{2} (\frac{π + 4 x}{4}) cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) cos^{2} (x) \frac{2 s i n ^{2} ( \frac{π + 4 x}{4} ) c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x ) + 2 s i n ( x ) c o s ( x )}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} - 0 未定義 \frac{π}{2} < x < π - + - x = π + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\geq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or x = π

重複している区間をマージする

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

2つの区間の和集合は, 区間

x = 0

または

のいずれかの数の集合である

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

0 \leq x < \frac{π}{2}

または

のいずれかの数の集合である

x = π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

以下の周期性を適用する:

2 sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - tan^{2} (x) + 2 tan (x)

πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

人気の例

sqrt(3)cos(x)-sin(x)<= 0

3 cos (x) - sin (x) \leq 0

1/(tan(x))>cot(1/x)

\frac{1}{tan ( x )} > cot (\frac{1}{x})

- 2 cos (x) + 1 > 0

2sin^4(x)-3sin^2(x)+1>0

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

cos(x)+(sqrt(3))/2 <= 0

cos (x) + \frac{3}{2} \leq 0