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cos(x)+sqrt(3)*sin(x)>= sqrt(2)

Solución

cos (x) + 3 \cdot sin (x) \geq 2

Solución

\frac{π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{12} + 2 πn, \frac{7 π}{12} + 2 πn]

Notación decimal

0.26179 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.83259 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos (x) + 3 sin (x) \geq 2

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Dividir ambos lados entre

2

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2} \geq \frac{2}{2}

Expandir

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2} : \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2} = \frac{cos ( x )}{2} + \frac{3 sin ( x )}{2}

= \frac{cos ( x )}{2} + \frac{3 sin ( x )}{2}

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

\frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) \geq \frac{2}{2}

\frac{3}{2} = cos (\frac{π}{6})

\frac{1}{2} cos (x) + cos (\frac{π}{6}) sin (x) \geq \frac{2}{2}

\frac{1}{2} = sin (\frac{π}{6})

sin (\frac{π}{6}) cos (x) + cos (\frac{π}{6}) sin (x) \geq \frac{2}{2}

Usar la siguiente identidad:

cos (s) sin (t) + cos (t) sin (s) = sin (s + t)

sin (\frac{π}{6} + x) \geq \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{6} + x) \geq \frac{2}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq (\frac{π}{6} + x) \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{6} + x and \frac{π}{6} + x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{6} + x : x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{6} + x

Intercambiar lados

\frac{π}{6} + x \geq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{6} + x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

Mover

\frac{π}{6}

al lado derecho

\frac{π}{6} + x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

Restar

\frac{π}{6}

de ambos lados

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \geq \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplificar

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \geq \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplificar

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} : x

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq 0

= x

Simplificar

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{π}{12}

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{4} - \frac{π}{6}

Mínimo común múltiplo de

4, 6 : 12

4, 6

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= \frac{π 3}{12} - \frac{π 2}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π 2}{12}

Sumar elementos similares:

3 π - 2 π = π

= 2 πn + \frac{π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

\frac{π}{6} + x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

\frac{π}{6} + x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{4} + 2 πn

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{6} + x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

Mover

\frac{π}{6}

al lado derecho

\frac{π}{6} + x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

Restar

\frac{π}{6}

de ambos lados

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplificar

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplificar

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} : x

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 0

= x

Simplificar

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6} : π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Agrupar términos semejantes

= π + 2 πn - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}

Mínimo común múltiplo de

4, 6 : 12

4, 6

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= - \frac{π 3}{12} - \frac{π 2}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π 2}{12}

Sumar elementos similares:

- 3 π - 2 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

Simplificar

π - \frac{5 π}{12} : \frac{7 π}{12}

π - \frac{5 π}{12}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 12}{12}

= \frac{π 12}{12} - \frac{5 π}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 12 - 5 π}{12}

Sumar elementos similares:

12 π - 5 π = 7 π

= \frac{7 π}{12}

x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

Combinar los rangos

x \geq 2 πn + \frac{π}{12} and x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x/2)>(sqrt(2))/2

cos (\frac{x}{2}) > \frac{2}{2}

tan(4x+pi)<2

tan (4 x + π) < 2

24sin(θ)>0.06

24 sin (θ) > 0.06

4cos(pi/2+x)+3<= 0

4 cos (\frac{π}{2} + x) + 3 \leq 0

-sin(t)>= 0

- sin (t) \geq 0