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Popular Trigonometría >

(1-4sin^2(x))/(cos(x))>0

Solución

\frac{1 - 4 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} > 0

Solución

- \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notación de intervalos

(- \frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Decimal

- 0.52359 \dots + 2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn or 3.66519 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Pasos de solución

\frac{1 - 4 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} > 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

\frac{1 - 4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )} > 0

Simplificar

\frac{1 - 4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )} : \frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{cos ( x )}

\frac{1 - 4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )}

Expandir

1 - 4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) - 3

1 - 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

- 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 4 + 4 cos^{2} (x)

- 4 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 cos^{2} (x)

= 1 - 4 + 4 cos^{2} (x)

Restar:

1 - 4 = - 3

= 4 cos^{2} (x) - 3

= \frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{cos ( x )}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{cos ( x )} > 0

Sea:

u = cos (x)

\frac{4 u ^{2} - 3}{u} > 0

\frac{4 u ^{2} - 3}{u} > 0 : - \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

\frac{4 u ^{2} - 3}{u} > 0

Factorizar

\frac{4 u ^{2} - 3}{u} : \frac{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}{u}

\frac{4 u ^{2} - 3}{u}

Factorizar

4 u^{2} - 3 : (2 u + 3) (2 u - 3)

4 u^{2} - 3

Reescribir

4 u^{2} - 3

como

(2 u)^{2} - (3)^{2}

4 u^{2} - 3

Reescribir

4

como

2^{2}

= 2^{2} u^{2} - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} u^{2} - (3)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - (3)^{2} = (2 u + 3) (2 u - 3)

= (2 u + 3) (2 u - 3)

= \frac{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}{u}

\frac{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}{u} > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}{u}

Encontrar los signos de

2 u + 3

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

2 u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

2 u = - 3

2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplificar

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 < 0 : u < - \frac{3}{2}

2 u + 3 < 0

Desplace

3

a la derecha

2 u + 3 < 0

Restar

3

de ambos lados

2 u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

2 u < - 3

2 u < - 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u < - 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 3}{2}

Simplificar

u < - \frac{3}{2}

u < - \frac{3}{2}

2 u + 3 > 0 : u > - \frac{3}{2}

2 u + 3 > 0

Desplace

3

a la derecha

2 u + 3 > 0

Restar

3

de ambos lados

2 u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

2 u > - 3

2 u > - 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u > - 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 3}{2}

Simplificar

u > - \frac{3}{2}

u > - \frac{3}{2}

Encontrar los signos de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 < 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

2 u < 3

2 u < 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplificar

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 > 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

2 u > 3

2 u > 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplificar

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Encontrar los signos de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

u : u = 0

Resumir en una tabla:

2 u + 3 2 u - 3 u \frac{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}{u} u < - \frac{3}{2} - - - - u = - \frac{3}{2} 0 - - 0 - \frac{3}{2} < u < 0 + - - + u = 0 + - 0 Sin definir 0 < u < \frac{3}{2} + - + - u = \frac{3}{2} + 0 + 0 u > \frac{3}{2} + + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- \frac{3}{2} < cos (x) < 0 or cos (x) > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- \frac{3}{2} < cos (x) < 0

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- \frac{3}{2} < cos (x) and cos (x) < 0

- \frac{3}{2} < cos (x) : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

- \frac{3}{2} < cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) > - \frac{3}{2}

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{3}{2}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (- \frac{3}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- arccos (- \frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{5 π}{6}

Simplificar

arccos (- \frac{3}{2}) : \frac{5 π}{6}

arccos (- \frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{5 π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - \frac{π}{2}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Sumar elementos similares:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar los rangos

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) > \frac{3}{2} : - \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

cos (x) > \frac{3}{2}

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{3}{2}) : - \frac{π}{6}

- arccos (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{6}

Simplificar

arccos (\frac{3}{2}) : \frac{π}{6}

arccos (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Combinar los rangos

(\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn) or - \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

cos((3x)/2)cos(x/2)>= 0

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

(2sin(x)-1)*(sqrt(3)tan(x)+1)>0

(2 sin (x) - 1) \cdot (3 tan (x) + 1) > 0

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq \frac{2}{2}

2cos(x)+sqrt(2)<0

2 cos (x) + 2 < 0