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3cot(x)<tan(x)

Solución

3 cot (x) < tan (x)

Solución

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn < x < π + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{3} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{2 π}{3} + πn, π + πn)

Notación decimal

1.04719 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.09439 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

3 cot (x) < tan (x)

Mover

tan (x)

al lado izquierdo

3 cot (x) < tan (x)

Restar

tan (x)

de ambos lados

3 cot (x) - tan (x) < tan (x) - tan (x)

3 cot (x) - tan (x) < 0

3 cot (x) - tan (x) < 0

Periodicidad de

3 cot (x) - tan (x) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

3 cot (x), tan (x)

Periodicidad de

3 cot (x) : π

La periodicidad de

a \cdot : co t (b x + c) + d = \frac{periodicidad de cot ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

: co t (x)

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= π

Periodicidad de

tan (x) : π

La periodicidad de

: t an (x)

π

= π

Combinar períodos:

π, π

= π

Expresar con seno, coseno

3 cot (x) - tan (x) < 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - tan (x) < 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

Simplificar

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 3}{sin ( x )}

= \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( x ) \cdot 3}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{cos ( x ) \cdot 3}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{3 cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{3 cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} < 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = 0

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{π}{3}

\frac{3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

Factorizar

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Reescribir

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

como

(3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} cos^{2} (x) = (3 cos (x))^{2}

= (3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

= (3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x) = (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

= (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

(3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

3 cos (x) + sin (x) = 0 or 3 cos (x) - sin (x) = 0

3 cos (x) + sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{2 π}{3}

3 cos (x) + sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

3 cos (x) + sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{3 cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

3 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 + tan (x) = 0

3 + tan (x) = 0

Mover

3

al lado derecho

3 + tan (x) = 0

Restar

3

de ambos lados

3 + tan (x) - 3 = 0 - 3

Simplificar

tan (x) = - 3

tan (x) = - 3

Soluciones generales para

tan (x) = - 3

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{2 π}{3}

3 cos (x) - sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{3}

3 cos (x) - sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

3 cos (x) - sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

3 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 - tan (x) = 0

3 - tan (x) = 0

Mover

3

al lado derecho

3 - tan (x) = 0

Restar

3

de ambos lados

3 - tan (x) - 3 = 0 - 3

Simplificar

- tan (x) = - 3

- tan (x) = - 3

Dividir ambos lados entre

- 1

- tan (x) = - 3

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}

Simplificar

tan (x) = 3

tan (x) = 3

Soluciones generales para

tan (x) = 3

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{3}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{π}{3}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = 0, x = \frac{π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

sin (x) cos (x) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or cos (x) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

Combinar toda las soluciones

x = 0, x = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} < x < π

Resumir en una tabla:

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) sin (x) cos (x) \frac{3 c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x ) c o s ( x )} x = 0 + 0 + Sin definir 0 < x < \frac{π}{3} + + + + x = \frac{π}{3} 0 + + 0 \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} - + + - x = \frac{π}{2} - + 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3} - + - + x = \frac{2 π}{3} 0 + - 0 \frac{2 π}{3} < x < π + + - - x = π + 0 - Sin definir

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} or \frac{2 π}{3} < x < π

Utilizar la periodicidad de

3 cot (x) - tan (x)

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn < x < π + πn

Ejemplos populares

2cos(x)+sqrt(2)<0

2 cos (x) + 2 < 0

sin(2*x)>= 1

sin (2 \cdot x) \geq 1

-5cos(x)>0

- 5 cos (x) > 0

sin(x)+cos(x)<= 1

sin (x) + cos (x) \leq 1

cos(2x)>sin^2(x)-2

cos (2 x) > sin^{2} (x) - 2