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Popular Trigonometria >

2sin^2(x)+3sin(x)>= 2,0<= x<= pi/2

Solução

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

Solução

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

Notação de intervalo

[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]

Decimal

0.52359 \dots \leq x \leq 1.57079 \dots

Passos da solução

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

Sea:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u \geq 2

2 u^{2} + 3 u \geq 2 : u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Reescrever na forma geral

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Subtrair

2

de ambos os lados

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 2 - 2

Simplificar

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

Fatorar

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

Fatorar a expressão

2 u^{2} + 3 u - 2

Definição

Fatores de

4 : 1, 2, 4

4

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

4 : 2, 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2

Adicione os fatores primos:

2

Adicione 1 e o próprio número

4

1, 4

Divisores de

4

1, 2, 4

Fatores negativos de

4 : - 1, - 2, - 4

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2, - 4

Para cada dois fatores tais que

u * v = - 4,

verifique se

u + v = 3

Verifique

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 1

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

Fatorar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u - 1)

Fatorar

2

4 u - 2

2 (2 u - 1)

4 u - 2

Reescrever

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Fatorar o termo comum

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

(2 u - 1) (u + 2) \geq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(2 u - 1) (u + 2)

Encontre os sinais de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Mova

2

para o lado direito

u + 2 = 0

Subtrair

2

de ambos os lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Mova

2

para o lado direito

u + 2 < 0

Subtrair

2

de ambos os lados

u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplificar

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Mova

2

para o lado direito

u + 2 > 0

Subtrair

2

de ambos os lados

u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplificar

u > - 2

u > - 2

Resumir em uma tabela:

2 u - 1 u + 2 (2 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\geq 0

u < - 2 or u = - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Junte intervalos que se sobrepoem

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u < - 2

u = - 2

u \leq - 2

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u \leq - 2

u = \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) \leq - 2 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 2 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) \leq - 2

Imagem de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Considere

y = sin (x)

Combinar os intervalos

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \leq - 2

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Falso para todo x \in R

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Converter para fração:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Somar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar os intervalos

Falso para todo x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar os intervalos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

Gráfico

Exemplos populares

cos(pi/4 x)>0

cos (\frac{π}{4} x) > 0

csc(-θ)<0

csc (- θ) < 0

tan(x)<=-sqrt(3)

tan (x) \leq - 3

1-1/(cos(x))< 1/2*10^{-2}

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

sin (x) - 3 cos (x) < 1