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1+sec(x)>= 0

Solución

1 + sec (x) \geq 0

Solución

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup x = π + 2 πn \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Notación decimal

2 πn \leq x < 1.57079 \dots + 2 πn or x = 3.14159 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

1 + sec (x) \geq 0

Periodicidad de

1 + sec (x) : 2 π

La periodicidad de

a \cdot : sec (b x + c) + d = \frac{periodicidad de sec ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

: sec (x)

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= 2 π

Expresar con seno, coseno

1 + sec (x) \geq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

1 + \frac{1}{cos ( x )} \geq 0

1 + \frac{1}{cos ( x )} \geq 0

Simplificar

1 + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

1 + \frac{1}{cos ( x )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} \geq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} = 0

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = π

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

Usando el método de sustitución

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} = 0

Sea:

cos (x) = u

\frac{u + 1}{u} = 0

\frac{u + 1}{u} = 0 : u = - 1

\frac{u + 1}{u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{u + 1}{u}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π : x = π

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = π

Combinar toda las soluciones

x = π

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

cos (x) + 1 cos (x) \frac{c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < π + - - x = π 0 - 0 π < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 Sin definir \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or x = π or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2}

x = π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

x = 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π or \frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or x = π or \frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

Utilizar la periodicidad de

1 + sec (x)

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

sec(x)<cot(x)

sec (x) < cot (x)

-sin(x)<= 0.5

- sin (x) \leq 0.5

(cos(x))/(1-sin(x))<= 0

\frac{cos ( x )}{1 - sin ( x )} \leq 0

cos^2(x)<(sqrt(2))/2+sin^2(x)

cos^{2} (x) < \frac{2}{2} + sin^{2} (x)

tan(x)<-1.5

tan (x) < - 1.5