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0<sin(x)cos(x)<sqrt(2)

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解答

0<sin(x)cos(x)<2​

解答

πn<x<2π​+πn
+2
间隔符号
(πn,2π​+πn)
十进制
πn<x<1.57079…+πn
求解步骤
0<sin(x)cos(x)<2​
若 a<u<b,则 a<uandu<b0<sin(x)cos(x)andsin(x)cos(x)<2​
0<sin(x)cos(x):πn<x<2π​+πn
0<sin(x)cos(x)
交换两边sin(x)cos(x)>0
利用以下特性: 2cos(x)sin(x)=sin(2x)因此 cos(x)sin(x)=2sin(2x)​2sin(2x)​>0
在两边乘以 2
2sin(2x)​>0
在两边乘以 222sin(2x)​>0⋅2
化简sin(2x)>0
sin(2x)>0
对于 sin(x)>a,若 −1≤a<1,则 arcsin(a)+2πn<x<π−arcsin(a)+2πnarcsin(0)+2πn<2x<π−arcsin(0)+2πn
若 a<u<b,则 a<uandu<barcsin(0)+2πn<2xand2x<π−arcsin(0)+2πn
arcsin(0)+2πn<2x:x>πn
arcsin(0)+2πn<2x
交换两边2x>arcsin(0)+2πn
化简 arcsin(0)+2πn:2πn
arcsin(0)+2πn
使用以下普通恒等式:arcsin(0)=0x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=0+2πn
0+2πn=2πn=2πn
2x>2πn
两边除以 2
2x>2πn
两边除以 222x​>22πn​
化简x>πn
x>πn
2x<π−arcsin(0)+2πn:x<2π​+πn
2x<π−arcsin(0)+2πn
化简 π−arcsin(0)+2πn:π+2πn
π−arcsin(0)+2πn
使用以下普通恒等式:arcsin(0)=0x021​22​​23​​1​arcsin(x)06π​4π​3π​2π​​arcsin(x)0∘30∘45∘60∘90∘​​=π−0+2πn
π−0+2πn=π+2πn=π+2πn
2x<π+2πn
两边除以 2
2x<π+2πn
两边除以 222x​<2π​+22πn​
化简x<2π​+πn
x<2π​+πn
合并区间x>πnandx<2π​+πn
合并重叠的区间πn<x<2π​+πn
sin(x)cos(x)<2​:对所有 x∈R为真
sin(x)cos(x)<2​
利用以下特性: 2cos(x)sin(x)=sin(2x)因此 cos(x)sin(x)=2sin(2x)​2sin(2x)​<2​
在两边乘以 2
2sin(2x)​<2​
在两边乘以 222sin(2x)​<22​
化简sin(2x)<22​
sin(2x)<22​
sin(2x)的值域:−1≤sin(2x)≤1
函数值域定义
基本 sin函数的值域为 −1≤sin(2x)≤1−1≤sin(2x)≤1
sin(2x)<22​and−1≤sin(2x)≤1:−1≤sin(2x)≤1
令y=sin(2x)
合并区间y<22​and−1≤y≤1
合并重叠的区间
y<22​and−1≤y≤1
两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合
y<22​and−1≤y≤1
−1≤y≤1
−1≤y≤1
对所有x为真
对所有x∈R为真
合并区间πn<x<2π​+πnand对所有x∈R为真
合并重叠的区间πn<x<2π​+πn

流行的例子

csc(θ)<0\land (csc(θ))(cot(θ))>0csc(θ)<0and(csc(θ))(cot(θ))>01>arctan(x)>01>arctan(x)>0cosh(θ)= 8/3 \land θ<0,sinh(θ)cosh(θ)=38​andθ<0,sinh(θ)cos(θ)=(sqrt(3))/2 \land csc(θ)<0cos(θ)=23​​andcsc(θ)<00<= y<= sin(3.1416)0≤y≤sin(3.1416)
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