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Popolare Trigonometria >

cos(x)-1=sqrt(3)sin(x)

Soluzione

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

Soluzione

x = 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(cos (x) - 1)^{2} = (3 sin (x))^{2}

Sottrarre

(3 sin (x))^{2}

da entrambi i lati

(cos (x) - 1)^{2} - 3 sin^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(- 1 + cos (x))^{2} - 3 sin^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (- 1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

Semplificare

(- 1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

(- 1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

(- 1 + cos (x))^{2} : 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = cos (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x)

Semplifica

(- 1)^{2} + 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x) : 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x)

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 (1 - cos^{2} (x))

Espandi

- 3 (1 - cos^{2} (x)) : - 3 + 3 cos^{2} (x)

- 3 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Semplifica

1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x) : 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) + 1 - 3

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) + 1 - 3

Aggiungi/Sottrai i numeri:

1 - 3 = - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

- 2 - 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 - 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Aggiungi i numeri:

4 + 32 = 36

= 36

Fattorizzare il numero:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Aggiungi i numeri:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Sottrai i numeri:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{1}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluzioni generali per

cos (x) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

2 πn :

Vero

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

inserisci la

x = 2 π 1

cos (2 π 1) - 1 = 3 sin (2 π 1)

Affinare

0 = 0

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Per

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

inserisci la

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) - 1 = 3 sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1)

Affinare

- 1.5 = 1.5

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Vero

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Per

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

inserisci la

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 1 = 3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1)

Affinare

- 1.5 = - 1.5

\Rightarrow Vero

x = 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

cos(x)((cos(x))/(sin(x)))+sin(x)=sec(x)

cos (x) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )}) + sin (x) = sec (x)

sec(40+2θ)=csc(15)

sec (4 0^{\circ} + 2 θ) = csc (1 5^{\circ})

arcsin(x)-arccos(x)=arcsin(1/2)

arcsin (x) - arccos (x) = arcsin (\frac{1}{2})

3sin^2(x)+sin(x)-4=0

3 sin^{2} (x) + sin (x) - 4 = 0

2sin(x)+5cos(x)=4

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4