解
8sin3(x)−6sin(x)+1=0
解
x=0.17453…+2πn,x=π−0.17453…+2πn,x=0.87266…+2πn,x=π−0.87266…+2πn,x=−1.22173…+2πn,x=π+1.22173…+2πn
+1
度
x=10∘+360∘n,x=170∘+360∘n,x=50∘+360∘n,x=130∘+360∘n,x=−70∘+360∘n,x=250∘+360∘n解答ステップ
8sin3(x)−6sin(x)+1=0
置換で解く
8sin3(x)−6sin(x)+1=0
仮定:sin(x)=u8u3−6u+1=0
8u3−6u+1=0:u≈0.17364…,u≈0.76604…,u≈−0.93969…
8u3−6u+1=0
ニュートン・ラプソン法を使用して 8u3−6u+1=0 の解を1つ求める:u≈0.17364…
8u3−6u+1=0
ニュートン・ラプソン概算の定義
f(u)=8u3−6u+1
発見する f′(u):24u2−6
dud(8u3−6u+1)
和/差の法則を適用: (f±g)′=f′±g′=dud(8u3)−dud(6u)+dud(1)
dud(8u3)=24u2
dud(8u3)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=8dud(u3)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=8⋅3u3−1
簡素化=24u2
dud(6u)=6
dud(6u)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=6dudu
共通の導関数を適用: dudu=1=6⋅1
簡素化=6
dud(1)=0
dud(1)
定数の導関数: dxd(a)=0=0
=24u2−6+0
簡素化=24u2−6
仮定: u0=0Δun+1<になるまで un+1を計算する 0.000001
u1=0.16666…:Δu1=0.16666…
f(u0)=8⋅03−6⋅0+1=1f′(u0)=24⋅02−6=−6u1=0.16666…
Δu1=∣0.16666…−0∣=0.16666…Δu1=0.16666…
u2=0.17361…:Δu2=0.00694…
f(u1)=8⋅0.16666…3−6⋅0.16666…+1=0.03703…f′(u1)=24⋅0.16666…2−6=−5.33333…u2=0.17361…
Δu2=∣0.17361…−0.16666…∣=0.00694…Δu2=0.00694…
u3=0.17364…:Δu3=0.00003…
f(u2)=8⋅0.17361…3−6⋅0.17361…+1=0.00019…f′(u2)=24⋅0.17361…2−6=−5.27662…u3=0.17364…
Δu3=∣0.17364…−0.17361…∣=0.00003…Δu3=0.00003…
u4=0.17364…:Δu4=1.085E−9
f(u3)=8⋅0.17364…3−6⋅0.17364…+1=5.72478E−9f′(u3)=24⋅0.17364…2−6=−5.27631…u4=0.17364…
Δu4=∣0.17364…−0.17364…∣=1.085E−9Δu4=1.085E−9
u≈0.17364…
長除法を適用する:u−0.17364…8u3−6u+1=8u2+1.38918…u−5.75877…
8u2+1.38918…u−5.75877…≈0
ニュートン・ラプソン法を使用して 8u2+1.38918…u−5.75877…=0 の解を1つ求める:u≈0.76604…
8u2+1.38918…u−5.75877…=0
ニュートン・ラプソン概算の定義
f(u)=8u2+1.38918…u−5.75877…
発見する f′(u):16u+1.38918…
dud(8u2+1.38918…u−5.75877…)
和/差の法則を適用: (f±g)′=f′±g′=dud(8u2)+dud(1.38918…u)−dud(5.75877…)
dud(8u2)=16u
dud(8u2)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=8dud(u2)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=8⋅2u2−1
簡素化=16u
dud(1.38918…u)=1.38918…
dud(1.38918…u)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=1.38918…dudu
共通の導関数を適用: dudu=1=1.38918…⋅1
簡素化=1.38918…
dud(5.75877…)=0
dud(5.75877…)
定数の導関数: dxd(a)=0=0
=16u+1.38918…−0
簡素化=16u+1.38918…
仮定: u0=4Δun+1<になるまで un+1を計算する 0.000001
u1=2.04557…:Δu1=1.95442…
f(u0)=8⋅42+1.38918…⋅4−5.75877…=127.79797…f′(u0)=16⋅4+1.38918…=65.38918…u1=2.04557…
Δu1=∣2.04557…−4∣=1.95442…Δu1=1.95442…
u2=1.14993…:Δu2=0.89564…
f(u1)=8⋅2.04557…2+1.38918…⋅2.04557…−5.75877…=30.55807…f′(u1)=16⋅2.04557…+1.38918…=34.11845…u2=1.14993…
Δu2=∣1.14993…−2.04557…∣=0.89564…Δu2=0.89564…
u3=0.82562…:Δu3=0.32430…
f(u2)=8⋅1.14993…2+1.38918…⋅1.14993…−5.75877…=6.41746…f′(u2)=16⋅1.14993…+1.38918…=19.78811…u3=0.82562…
Δu3=∣0.82562…−1.14993…∣=0.32430…Δu3=0.32430…
u4=0.76798…:Δu4=0.05763…
f(u3)=8⋅0.82562…2+1.38918…⋅0.82562…−5.75877…=0.84141…f′(u3)=16⋅0.82562…+1.38918…=14.59916…u4=0.76798…
Δu4=∣0.76798…−0.82562…∣=0.05763…Δu4=0.05763…
u5=0.76604…:Δu5=0.00194…
f(u4)=8⋅0.76798…2+1.38918…⋅0.76798…−5.75877…=0.02657…f′(u4)=16⋅0.76798…+1.38918…=13.67701…u5=0.76604…
Δu5=∣0.76604…−0.76798…∣=0.00194…Δu5=0.00194…
u6=0.76604…:Δu6=2.21312E−6
f(u5)=8⋅0.76604…2+1.38918…⋅0.76604…−5.75877…=0.00003…f′(u5)=16⋅0.76604…+1.38918…=13.64593…u6=0.76604…
Δu6=∣0.76604…−0.76604…∣=2.21312E−6Δu6=2.21312E−6
u7=0.76604…:Δu7=2.87147E−12
f(u6)=8⋅0.76604…2+1.38918…⋅0.76604…−5.75877…=3.91838E−11f′(u6)=16⋅0.76604…+1.38918…=13.64589…u7=0.76604…
Δu7=∣0.76604…−0.76604…∣=2.87147E−12Δu7=2.87147E−12
u≈0.76604…
長除法を適用する:u−0.76604…8u2+1.38918…u−5.75877…=8u+7.51754…
8u+7.51754…≈0
u≈−0.93969…
解答はu≈0.17364…,u≈0.76604…,u≈−0.93969…
代用を戻す u=sin(x)sin(x)≈0.17364…,sin(x)≈0.76604…,sin(x)≈−0.93969…
sin(x)≈0.17364…,sin(x)≈0.76604…,sin(x)≈−0.93969…
sin(x)=0.17364…:x=arcsin(0.17364…)+2πn,x=π−arcsin(0.17364…)+2πn
sin(x)=0.17364…
三角関数の逆数プロパティを適用する
sin(x)=0.17364…
以下の一般解 sin(x)=0.17364…sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πnx=arcsin(0.17364…)+2πn,x=π−arcsin(0.17364…)+2πn
x=arcsin(0.17364…)+2πn,x=π−arcsin(0.17364…)+2πn
sin(x)=0.76604…:x=arcsin(0.76604…)+2πn,x=π−arcsin(0.76604…)+2πn
sin(x)=0.76604…
三角関数の逆数プロパティを適用する
sin(x)=0.76604…
以下の一般解 sin(x)=0.76604…sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πnx=arcsin(0.76604…)+2πn,x=π−arcsin(0.76604…)+2πn
x=arcsin(0.76604…)+2πn,x=π−arcsin(0.76604…)+2πn
sin(x)=−0.93969…:x=arcsin(−0.93969…)+2πn,x=π+arcsin(0.93969…)+2πn
sin(x)=−0.93969…
三角関数の逆数プロパティを適用する
sin(x)=−0.93969…
以下の一般解 sin(x)=−0.93969…sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin(−0.93969…)+2πn,x=π+arcsin(0.93969…)+2πn
x=arcsin(−0.93969…)+2πn,x=π+arcsin(0.93969…)+2πn
すべての解を組み合わせるx=arcsin(0.17364…)+2πn,x=π−arcsin(0.17364…)+2πn,x=arcsin(0.76604…)+2πn,x=π−arcsin(0.76604…)+2πn,x=arcsin(−0.93969…)+2πn,x=π+arcsin(0.93969…)+2πn
10進法形式で解を証明するx=0.17453…+2πn,x=π−0.17453…+2πn,x=0.87266…+2πn,x=π−0.87266…+2πn,x=−1.22173…+2πn,x=π+1.22173…+2πn