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Beliebt Trigonometrie >

6cos^2(x)+cos(2x)=1

Lösung

6 cos^{2} (x) + cos (2 x) = 1

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos^{2} (x) + cos (2 x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

6 cos^{2} (x) + cos (2 x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 x) + 6 cos^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) + 6 cos^{2} (x)

Vereinfache

= 6 cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x)

- 2 sin^{2} (x) + 6 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

- 2 sin^{2} (x) + 6 cos^{2} (x) : 2 (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

- 2 sin^{2} (x) + 6 cos^{2} (x)

Schreibe

6

um:

3 \cdot 2

= - 2 sin^{2} (x) + 3 \cdot 2 cos^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x))

Faktorisiere

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Schreibe

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

um:

(3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} cos^{2} (x) = (3 cos (x))^{2}

= (3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

= (3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x) = (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

= (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

= 2 (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x))

2 (3 cos (x) + sin (x)) (3 cos (x) - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

3 cos (x) + sin (x) = 0 or 3 cos (x) - sin (x) = 0

3 cos (x) + sin (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + πn

3 cos (x) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 cos (x) + sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{3 cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

3 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 + tan (x) = 0

3 + tan (x) = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

3 + tan (x) = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 + tan (x) - 3 = 0 - 3

Vereinfache

tan (x) = - 3

tan (x) = - 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

3 cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{3} + πn

3 cos (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 cos (x) - sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

3 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 - tan (x) = 0

3 - tan (x) = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

3 - tan (x) = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 - tan (x) - 3 = 0 - 3

Vereinfache

- tan (x) = - 3

- tan (x) = - 3

Teile beide Seiten durch

- 1

- tan (x) = - 3

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}

Vereinfache

tan (x) = 3

tan (x) = 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2pit)=1

sin (2 π t) = 1

(4cos^2(x)-3)(csc(x)+2)=0

(4 cos^{2} (x) - 3) (csc (x) + 2) = 0

sin(x)=cos(2x+10)

sin (x) = cos (2 x + 10)

sin(θ)=(60sin(15))/(400)

sin (θ) = \frac{60 sin ( 1 5 ^{\circ} )}{400}

sin^2(x)-3cos(x)-1=0

sin^{2} (x) - 3 cos (x) - 1 = 0