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Beliebt Trigonometrie >

4sin(x)+5cos(x)=6

Lösung

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Lösung

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

Grad

x = 59.09912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18.22049 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Subtrahiere

5 cos (x)

von beiden Seiten

4 sin (x) = 6 - 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x))^{2} = (6 - 5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(6 - 5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

16 sin^{2} (x) - 36 + 60 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 36 + 16 sin^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Vereinfache

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Multipliziere aus

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Vereinfache

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 41 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 36 + 16 = - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0 : u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 41, b = 60, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20) = 85

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6 0^{2} - 4 \cdot 41 \cdot 20

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 41 \cdot 20 = 3280

= 6 0^{2} - 3280

6 0^{2} = 3600

= 3600 - 3280

Subtrahiere die Zahlen:

3600 - 3280 = 320

= 320

Primfaktorzerlegung von

320 : 2^{6} \cdot 5

320

320

ist durch

2320 = 160 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 160

160

ist durch

2160 = 80 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 80

80

ist durch

280 = 40 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5

Fasse zusammen

= 85

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 8 5}{2 ( - 41 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

\frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 60 + 8 5}{- 2 \cdot 41}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 + 8 5}{- 82}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 + 85 = - (60 - 85)

= \frac{60 - 8 5}{82}

Faktorisiere

60 - 85 : 4 (15 - 25)

60 - 85

Schreibe um

= 4 \cdot 15 - 4 \cdot 25

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (15 - 25)

= \frac{4 ( 15 - 2 5 )}{82}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

u = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

\frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 60 - 8 5}{- 2 \cdot 41}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 - 8 5}{- 82}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 - 85 = - (60 + 85)

= \frac{60 + 8 5}{82}

Faktorisiere

60 + 85 : 4 (15 + 25)

60 + 85

Schreibe um

= 4 \cdot 15 + 4 \cdot 25

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (15 + 25)

= \frac{4 ( 15 + 2 5 )}{82}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 0.86445 \dots = 6

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

3.49860 \dots = 6

\Rightarrow Falsch

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

cos(x)=(-4)/5

cos (x) = \frac{- 4}{5}

3cot(3/2)+2csc(x/2)=0,0<= ,x<= 360

3 cot (\frac{3}{2}) + 2 csc (\frac{x}{2}) = 0, 0^{\circ} \leq, x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)=sqrt(2)cos(45+x)

cos (x) = 2 cos (4 5^{\circ} + x)

2sin(θ)=1.124

2 sin (θ) = 1.124