English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

55sin(θ)-20-20cos(θ)=0

الحلّ

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

الحلّ

θ = 0.69754 \dots + 2 πn, θ = π + 2 πn

درجات

θ = 39.96621 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

للطرفين

20 cos (θ)

أضف

55 sin (θ) - 20 = 20 cos (θ)

ربّع الطرفين

(55 sin (θ) - 20)^{2} = (20 cos (θ))^{2}

من الطرفين

(20 cos (θ))^{2}

اطرح

(55 sin (θ) - 20)^{2} - 400 cos^{2} (θ) = 0

Rewrite using trig identities

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 cos^{2} (θ)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 (1 - sin^{2} (θ))

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 (1 - sin^{2} (θ))

بسّط:

3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 (1 - sin^{2} (θ))

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} : 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

:فعّل صيغة الضرب المختصر

a = - 20, b = 55 sin (θ)

= (- 20)^{2} + 2 (- 20) \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

(- 20)^{2} + 2 (- 20) \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

بسّط:

400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

(- 20)^{2} + 2 (- 20) \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= (- 20)^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

(- 20)^{2} = 400

(- 20)^{2}

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- 20)^{2} = 2 0^{2}

= 2 0^{2}

2 0^{2} = 400

= 400

2 \cdot 20 \cdot 55 sin (θ) = 2200 sin (θ)

2 \cdot 20 \cdot 55 sin (θ)

2 \cdot 20 \cdot 55 = 2200 :

اضرب الأعداد

= 2200 sin (θ)

(55 sin (θ))^{2} = 3025 sin^{2} (θ)

(55 sin (θ))^{2}

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

:فعّل قانون القوى

= 5 5^{2} sin^{2} (θ)

5 5^{2} = 3025

= 3025 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 (1 - sin^{2} (θ))

- 400 (1 - sin^{2} (θ))

وسٌع:

- 400 + 400 sin^{2} (θ)

- 400 (1 - sin^{2} (θ))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = - 400, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 400 \cdot 1 - (- 400) sin^{2} (θ)

فعّل قوانين سالب-موجب

- (- a) = a

= - 400 \cdot 1 + 400 sin^{2} (θ)

400 \cdot 1 = 400 :

اضرب الأعداد

= - 400 + 400 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 + 400 sin^{2} (θ)

400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 + 400 sin^{2} (θ)

بسّط:

3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 + 400 sin^{2} (θ)

جمّع التعابير المتشابهة

= - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) + 400 sin^{2} (θ) + 400 - 400

3025 sin^{2} (θ) + 400 sin^{2} (θ) = 3425 sin^{2} (θ) :

اجمع العناصر المتشابهة

= - 2200 sin (θ) + 3425 sin^{2} (θ) + 400 - 400

400 - 400 = 0

= 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

= 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

= 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

- 2200 sin (θ) + 3425 sin^{2} (θ) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 2200 sin (θ) + 3425 sin^{2} (θ) = 0

sin (θ) = u :

على افتراض أنّ

- 2200 u + 3425 u^{2} = 0

- 2200 u + 3425 u^{2} = 0 : u = \frac{88}{137}, u = 0

- 2200 u + 3425 u^{2} = 0

3425

اقسم الطرفين على

- \frac{2200 u}{3425} + \frac{3425 u ^{2}}{3425} = \frac{0}{3425}

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

u^{2} - \frac{88 u}{137} = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

u^{2} - \frac{88 u}{137} = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 1, b = - \frac{88}{137}, c = 0

لـ

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) \pm ( - \frac{88}{137} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) \pm ( - \frac{88}{137} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

(- \frac{88}{137})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = \frac{88}{137}

(- \frac{88}{137})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

(- \frac{88}{137})^{2} = \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

(- \frac{88}{137})^{2}

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- \frac{88}{137})^{2} = (\frac{88}{137})^{2}

= (\frac{88}{137})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:فعّل قانون القوى

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

0 \cdot a = 0

فعّل القانون

= 0

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}} - 0

\frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}} - 0 = \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

a \geq 0, b \geq 0

بافتراض أنّ

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:فعّل قانون الجذور

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

a \geq 0

بافتراض أنّ

n a^{n} = a

:فعّل قانون الجذور

13 7^{2} = 137

= \frac{8 8 ^{2}}{137}

a \geq 0

بافتراض أنّ

n a^{n} = a

:فعّل قانون الجذور

8 8^{2} = 88

= \frac{88}{137}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) \pm \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1} : \frac{88}{137}

\frac{- ( - \frac{88}{137} ) + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

- (- a) = a

فعّل القانون

= \frac{\frac{88}{137} + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

\frac{88}{137} + \frac{88}{137} = 2 \cdot \frac{88}{137} :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{2 \cdot \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{2 \cdot \frac{88}{137}}{2}

2 \cdot \frac{88}{137}

اضرب بـ:

\frac{176}{137}

2 \cdot \frac{88}{137}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{88 \cdot 2}{137}

88 \cdot 2 = 176 :

اضرب الأعداد

= \frac{176}{137}

= \frac{\frac{176}{137}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{176}{137 \cdot 2}

137 \cdot 2 = 274 :

اضرب الأعداد

= \frac{176}{274}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{88}{137}

u = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- ( - \frac{88}{137} ) - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

- (- a) = a

فعّل القانون

= \frac{\frac{88}{137} - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

\frac{88}{137} - \frac{88}{137} = 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{0}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{0}{2}

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

فعّل القانون

= 0

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{88}{137}, u = 0

u = sin (θ)

استبدل مجددًا

sin (θ) = \frac{88}{137}, sin (θ) = 0

sin (θ) = \frac{88}{137}, sin (θ) = 0

sin (θ) = \frac{88}{137} : θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{88}{137}

Apply trig inverse properties

sin (θ) = \frac{88}{137}

sin (θ) = \frac{88}{137} :

حلول عامّة لـ

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

sin (θ) = 0 :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

حلّ:

θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

وحّد الحلول

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

عوّض

, 55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

في

55 sin (arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) - 20 - 20 cos (arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) = 0

بسّط

0 = 0

\Rightarrow صحيح

π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

n = 1

استبدل

π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

عوّض

, 55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

في

55 sin (π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) - 20 - 20 cos (π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) = 0

بسّط

30.65693 \dots = 0

\Rightarrow خطأ

2 πn

افحص الحل:

خطأ

2 πn

n = 1

استبدل

2 π 1

θ = 2 π 1

عوّض

, 55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

في

55 sin (2 π 1) - 20 - 20 cos (2 π 1) = 0

بسّط

- 40 = 0

\Rightarrow خطأ

π + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

π + 2 πn

n = 1

استبدل

π + 2 π 1

θ = π + 2 π 1

عوّض

, 55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

في

55 sin (π + 2 π 1) - 20 - 20 cos (π + 2 π 1) = 0

بسّط

0 = 0

\Rightarrow صحيح

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

θ = 0.69754 \dots + 2 πn, θ = π + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

8sin^2(x)=1

8 sin^{2} (x) = 1

5sin(x)cos(x)=cos(x)

5 sin (x) cos (x) = cos (x)

0.6875=cos(A)

0.6875 = cos (A)

(sin(2x))/(sin(x))=1.5

\frac{sin ( 2 x )}{sin ( x )} = 1.5

2cot(2x)=4

2 cot (2 x) = 4