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4sin(θ)=sin(2θ)

Lösung

4 sin (θ) = sin (2 θ)

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (θ) = sin (2 θ)

Subtrahiere

sin (2 θ)

von beiden Seiten

4 sin (θ) - sin (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin (2 θ) + 4 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - 2 sin (θ) cos (θ) + 4 sin (θ)

4 sin (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

4 sin (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) : - 2 sin (θ) (cos (θ) - 2)

4 sin (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Schreibe

4

um:

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 sin (θ) - 2 sin (θ) cos (θ)

Klammere gleiche Terme aus

- 2 sin (θ)

= - 2 sin (θ) (- 2 + cos (θ))

- 2 sin (θ) (cos (θ) - 2) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or cos (θ) - 2 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos (θ) - 2 = 0 :

Keine Lösung

cos (θ) - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

cos (θ) - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

cos (θ) - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

cos (θ) = 2

cos (θ) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

2 sin (3 x + \frac{3 π}{2}) = 1

n = (2 tan^{3} (2 θ) - 1)^{\frac{1}{2}}

0 = 2 sin (x + 1) + 1

tan (θ) \cdot 10 = 10

4 cos (x) + tan (4 5^{\circ}) = 0.6