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Beliebt Trigonometrie >

2cos(θ)-2cos(3θ)=0

Lösung

2 cos (θ) - 2 cos (3 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (θ) - 2 cos (3 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 cos (3 θ) + 2 cos (θ)

cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

cos (3 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 θ)

Schreibe um

= cos (2 θ + θ)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 θ) cos (θ) - sin (2 θ) sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

= cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

Vereinfache

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) : cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) = 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 cos (θ) sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

= (2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

sin^{2} (θ) = 1 - cos^{2} (θ)

= (2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

Multipliziere aus

(2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ) : 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

(2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

= cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1) - 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1) : 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (θ), b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= cos (θ) 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 1

= 2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 cos (θ)

Vereinfache

2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 \cdot cos (θ) : 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

1 cos (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

Multipliziere aus

- 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ)) : - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

- 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (θ), b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 2 cos (θ) 1 - (- 2 cos (θ)) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ) : - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

- 2 \cdot 1 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) = 2 cos (θ)

2 \cdot 1 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

Vereinfache

2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ) : 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{3} (θ) + 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{3} (θ) + 2 cos^{3} (θ) = 4 cos^{3} (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (θ) - 2 cos (θ) = - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= - 2 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) + 2 cos (θ)

Vereinfache

- 2 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) + 2 cos (θ) : - 8 cos^{3} (θ) + 8 cos (θ)

- 2 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) + 2 cos (θ)

Multipliziere aus

- 2 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) : - 8 cos^{3} (θ) + 6 cos (θ)

- 2 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 4 cos^{3} (θ), c = 3 cos (θ)

= - 2 \cdot 4 cos^{3} (θ) - (- 2) \cdot 3 cos (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 4 cos^{3} (θ) + 2 \cdot 3 cos (θ)

Vereinfache

- 2 \cdot 4 cos^{3} (θ) + 2 \cdot 3 cos (θ) : - 8 cos^{3} (θ) + 6 cos (θ)

- 2 \cdot 4 cos^{3} (θ) + 2 \cdot 3 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= - 8 cos^{3} (θ) + 2 \cdot 3 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= - 8 cos^{3} (θ) + 6 cos (θ)

= - 8 cos^{3} (θ) + 6 cos (θ)

= - 8 cos^{3} (θ) + 6 cos (θ) + 2 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

6 cos (θ) + 2 cos (θ) = 8 cos (θ)

= - 8 cos^{3} (θ) + 8 cos (θ)

= - 8 cos^{3} (θ) + 8 cos (θ)

8 cos (θ) - 8 cos^{3} (θ) = 0

Löse mit Substitution

8 cos (θ) - 8 cos^{3} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

8 u - 8 u^{3} = 0

8 u - 8 u^{3} = 0 : u = 0, u = - 1, u = 1

8 u - 8 u^{3} = 0

Faktorisiere

8 u - 8 u^{3} : - 8 u (u + 1) (u - 1)

8 u - 8 u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

- 8 u : - 8 u (u^{2} - 1)

- 8 u^{3} + 8 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= - 8 u^{2} u + 8 u

Klammere gleiche Terme aus

- 8 u

= - 8 u (u^{2} - 1)

= - 8 u (u^{2} - 1)

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - 8 u (u + 1) (u - 1)

- 8 u (u + 1) (u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die Lösungen sind

u = 0, u = - 1, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = - 1, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0, cos (θ) = - 1, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5-7sin(A)-2cos^2(A)=0

5 - 7 sin (A) - 2 cos^{2} (A) = 0

solvefor x,ln(y)+y^2=sin(x)+c

so l v e f or x, ln (y) + y^{2} = sin (x) + c

5/2 =2+cos(x+(2pi)/3)

\frac{5}{2} = 2 + cos (x + \frac{2 π}{3})

sin(x)+cos(x)=sqrt((2+\sqrt{3))/2}

sin (x) + cos (x) = \frac{2 + 3}{2}

2sec(x)=0

2 sec (x) = 0