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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin^2(90-b)+cos^2(b-450)=1

Lösung

beweisen

sin^{2} (9 0^{\circ} - b) + cos^{2} (b - 45 0^{\circ}) = 1

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (9 0^{\circ} - b) + cos^{2} (b - 45 0^{\circ}) = 1

Manipuliere die linke Seite

sin^{2} (9 0^{\circ} - b) + cos^{2} (b - 45 0^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (b - 45 0^{\circ})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (b) cos (45 0^{\circ}) + sin (b) sin (45 0^{\circ})

Vereinfache

cos (b) cos (45 0^{\circ}) + sin (b) sin (45 0^{\circ}) : sin (b)

cos (b) cos (45 0^{\circ}) + sin (b) sin (45 0^{\circ})

cos (b) cos (45 0^{\circ}) = 0

cos (b) cos (45 0^{\circ})

cos (45 0^{\circ}) = 0

cos (45 0^{\circ})

cos (45 0^{\circ}) = cos (9 0^{\circ})

cos (45 0^{\circ})

Schreibe

45 0^{\circ}

um:

36 0^{\circ} + 9 0^{\circ}

= cos (36 0^{\circ} + 9 0^{\circ})

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 36 0^{\circ}) = cos (x)

cos (36 0^{\circ} + 9 0^{\circ}) = cos (9 0^{\circ})

= cos (9 0^{\circ})

= cos (9 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (9 0^{\circ}) = 0

cos (9 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0

= 0 \cdot cos (b)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

sin (b) sin (45 0^{\circ}) = sin (b)

sin (b) sin (45 0^{\circ})

sin (45 0^{\circ}) = 1

sin (45 0^{\circ})

sin (45 0^{\circ}) = sin (9 0^{\circ})

sin (45 0^{\circ})

Schreibe

45 0^{\circ}

um:

36 0^{\circ} + 9 0^{\circ}

= sin (36 0^{\circ} + 9 0^{\circ})

Verwende die Periodizität von

sin

sin (x + 36 0^{\circ}) = sin (x)

sin (36 0^{\circ} + 9 0^{\circ}) = sin (9 0^{\circ})

= sin (9 0^{\circ})

= sin (9 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (9 0^{\circ}) = 1

sin (9 0^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= 1

= 1

= 1 \cdot sin (b)

Multipliziere:

sin (b) \cdot 1 = sin (b)

= sin (b)

= 0 + sin (b)

0 + sin (b) = sin (b)

= sin (b)

= sin (b)

= sin^{2} (9 0^{\circ} - b) + (sin (b))^{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (9 0^{\circ} - b)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (9 0^{\circ}) cos (b) - cos (9 0^{\circ}) sin (b)

Vereinfache

sin (9 0^{\circ}) cos (b) - cos (9 0^{\circ}) sin (b) : cos (b)

sin (9 0^{\circ}) cos (b) - cos (9 0^{\circ}) sin (b)

sin (9 0^{\circ}) cos (b) = cos (b)

sin (9 0^{\circ}) cos (b)

Vereinfache

sin (9 0^{\circ}) : 1

sin (9 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (9 0^{\circ}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (b)

Multipliziere:

1 \cdot cos (b) = cos (b)

= cos (b)

cos (9 0^{\circ}) sin (b) = 0

cos (9 0^{\circ}) sin (b)

Vereinfache

cos (9 0^{\circ}) : 0

cos (9 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (9 0^{\circ}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (b)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (b) - 0

cos (b) - 0 = cos (b)

= cos (b)

= cos (b)

= (cos (b))^{2} + (sin (b))^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos^{2} (b) + sin^{2} (b)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (b) + sin^{2} (b)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

cos^2(2x)+sin^2(x)=1

cos^{2} (2 x) + sin^{2} (x) = 1

cos^2(x)=(1-tan^2(x))/(sec^2(x))

cos^{2} (x) = \frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

sin^2(x)-3cos(x)-4=0

sin^{2} (x) - 3 cos (x) - 4 = 0

tan^2(x)+sec(x)=5

tan^{2} (x) + sec (x) = 5

4sin^5(x)=3

4 sin^{5} (x) = 3