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Beliebt Trigonometrie >

cos^4(x)+2cos^2(x)=1

Lösung

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

Lösung

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Grad

x = 49.93964 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

Löse mit Substitution

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

Angenommen:

cos (x) = u

u^{4} + 2 u^{2} = 1

u^{4} + 2 u^{2} = 1 : u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2, u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{4} + 2 u^{2} = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

u^{4} + 2 u^{2} = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

Vereinfache

u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 0

u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

v^{2} + 2 v - 1 = 0

Löse

v^{2} + 2 v - 1 = 0 : v = - 1 + 2, v = - 1 - 2

v^{2} + 2 v - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

v^{2} + 2 v - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 2, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

v = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 + 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

v = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 - 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 - 22 : - 2 (1 + 2)

- 2 - 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 2)

= - \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 2)

Negiere die Vorzeichen

- (1 + 2) = - 1 - 2

= - 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = - 1 + 2, v = - 1 - 2

v = - 1 + 2, v = - 1 - 2

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = - 1 + 2 : u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2

u^{2} = - 1 + 2

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2

Löse

u^{2} = - 1 - 2 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{2} = - 1 - 2

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1 - 2, u = - - 1 - 2

Vereinfache

- 1 - 2 : i 1 + 2

- 1 - 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 1 + 2

Vereinfache

- - 1 - 2 : - i 1 + 2

- - 1 - 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= - i 1 + 2

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Die Lösungen sind

u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2, u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1 + 2, cos (x) = - - 1 + 2, cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2

cos (x) = - 1 + 2, cos (x) = - - 1 + 2, cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2

cos (x) = - 1 + 2 : x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = - 1 + 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - 1 + 2

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1 + 2

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = - - 1 + 2 : x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = - - 1 + 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - - 1 + 2

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - - 1 + 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = i 1 + 2 :

Keine Lösung

cos (x) = i 1 + 2

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - i 1 + 2 :

Keine Lösung

cos (x) = - i 1 + 2

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)+sin^2(x)=cos^5(x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = cos^{5} (x)

sin(x-45^5)=((sqrt(2)))/2

sin (x - 4 5^{5}) = \frac{( 2 )}{2}

(sin(x)-sqrt(3)*cos(x))/2 =0

\frac{sin ( x ) - 3 \cdot cos ( x )}{2} = 0

cos(1/(3x))= 1/3

cos (\frac{1}{3 x}) = \frac{1}{3}

arctan(1+x)+arctan(1-x)=arctan(1/2)

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})