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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-15sin(x)cos(x)+50cos^2(x)=0

Lösung

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) = 0

Lösung

x = 1.37340 \dots + πn, x = 1.47112 \dots + πn

Grad

x = 78.69006 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 84.28940 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) : (sin (x) - 5 cos (x)) (sin (x) - 10 cos (x))

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

Definition

Faktoren von

50 : 1, 2, 5, 10, 25, 50

50

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

50 : 2, 5, 5

50

50

ist durch

250 = 25 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Primfaktoren von

50 : 10, 25

2 \cdot 5 = 10

5 \cdot 5 = 25

10, 25

10, 25

Addiere alle Primfaktoren.

2, 5

Addiere 1 und die Zahl

50

selbst

1, 50

Die Faktoren von

50

1, 2, 5, 10, 25, 50

Negative Faktoren von

50 : - 1, - 2, - 5, - 10, - 25, - 50

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 5, - 10, - 25, - 50

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 50,

prüfe, ob

u + v = - 15

Prüfe

u = 1, v = 50 : u * v = 50, u + v = 51 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 25 : u * v = 50, u + v = 27 \Rightarrow

Falsch

u = - 5, v = - 10

Gruppiere

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)) + (- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)) + (- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x))

Klammere

sin (x)

aus

sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)

aus

: sin (x) (sin (x) - 5 cos (x))

sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) - 5 sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin (x) - 5 cos (x))

Klammere

- 10 cos (x)

aus

- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

aus

: - 10 cos (x) (sin (x) - 5 cos (x))

- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= - 10 sin (x) cos (x) + 50 cos (x) cos (x)

Schreibe

50

um:

5 \cdot 10

= - 10 sin (x) cos (x) + 5 \cdot 10 cos (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 10 cos (x)

= - 10 cos (x) (sin (x) - 5 cos (x))

= sin (x) (sin (x) - 5 cos (x)) - 10 cos (x) (sin (x) - 5 cos (x))

Klammere gleiche Terme aus

sin (x) - 5 cos (x)

= (sin (x) - 5 cos (x)) (sin (x) - 10 cos (x))

(sin (x) - 5 cos (x)) (sin (x) - 10 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) - 5 cos (x) = 0 or sin (x) - 10 cos (x) = 0

sin (x) - 5 cos (x) = 0 : x = arctan (5) + πn

sin (x) - 5 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - 5 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 5 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 5 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 5 = 0

tan (x) - 5 = 0

Verschiebe

5

auf die rechte Seite

tan (x) - 5 = 0

Füge

5

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 5 + 5 = 0 + 5

Vereinfache

tan (x) = 5

tan (x) = 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = 5

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 5

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (5) + πn

x = arctan (5) + πn

sin (x) - 10 cos (x) = 0 : x = arctan (10) + πn

sin (x) - 10 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - 10 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 10 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 10 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 10 = 0

tan (x) - 10 = 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

tan (x) - 10 = 0

Füge

10

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 10 + 10 = 0 + 10

Vereinfache

tan (x) = 10

tan (x) = 10

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = 10

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 10

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (10) + πn

x = arctan (10) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (5) + πn, x = arctan (10) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.37340 \dots + πn, x = 1.47112 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

cot(x)=sin^2(x)

cot (x) = sin^{2} (x)

sec(2x+60)=-1.5

sec (2 x + 60) = - 1.5

sin^2(x)+2sin^2(x/2)=1

sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1

tan(a)=0.7

tan (a) = 0.7

8sin(x)-4csc(x)=0

8 sin (x) - 4 csc (x) = 0