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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)+2sin^2(x/2)=1

Lösung

sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1

Lösung

x = - 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn, x = 2 π + 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn, x = 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn, x = 2 π - 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn

Grad

x = - 51.82729 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 411.82729 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 51.82729 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - 1 = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

sin^{2} (2 u) + 2 sin^{2} (u) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + sin^{2} (2 u) + 2 sin^{2} (u)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= 2 sin^{2} (u) - cos^{2} (2 u)

- cos^{2} (2 u) + 2 sin^{2} (u) = 0

Faktorisiere

- cos^{2} (2 u) + 2 sin^{2} (u) : (2 sin (u) + cos (2 u)) (2 sin (u) - cos (2 u))

- cos^{2} (2 u) + 2 sin^{2} (u)

Schreibe

2 sin^{2} (u) - cos^{2} (2 u)

um:

(2 sin (u))^{2} - cos^{2} (2 u)

2 sin^{2} (u) - cos^{2} (2 u)

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (u) - cos^{2} (2 u)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (u) = (2 sin (u))^{2}

= (2 sin (u))^{2} - cos^{2} (2 u)

= (2 sin (u))^{2} - cos^{2} (2 u)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (u))^{2} - cos^{2} (2 u) = (2 sin (u) + cos (2 u)) (2 sin (u) - cos (2 u))

= (2 sin (u) + cos (2 u)) (2 sin (u) - cos (2 u))

(2 sin (u) + cos (2 u)) (2 sin (u) - cos (2 u)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

2 sin (u) + cos (2 u) = 0 or 2 sin (u) - cos (2 u) = 0

2 sin (u) + cos (2 u) = 0 : u = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

2 sin (u) + cos (2 u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 u) + sin (u) 2

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (u) + 2 sin (u)

1 - 2 sin^{2} (u) + sin (u) 2 = 0

Löse mit Substitution

1 - 2 sin^{2} (u) + sin (u) 2 = 0

Angenommen:

sin (u) = u

1 - 2 u^{2} + u 2 = 0

1 - 2 u^{2} + u 2 = 0 : u = - \frac{- 2 + 10}{4}, u = \frac{2 + 10}{4}

1 - 2 u^{2} + u 2 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm ( 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm ( 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 10

(2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 2 + 8

Addiere die Zahlen:

2 + 8 = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 10}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 10}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 10}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 10}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 2 + 10}{4}

\frac{- 2 + 10}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 10}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 10}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 10}{4}

u = \frac{- 2 - 10}{2 ( - 2 )} : \frac{2 + 10}{4}

\frac{- 2 - 10}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 10}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 10}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 10 = - (2 + 10)

= \frac{2 + 10}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 2 + 10}{4}, u = \frac{2 + 10}{4}

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = - \frac{- 2 + 10}{4}, sin (u) = \frac{2 + 10}{4}

sin (u) = - \frac{- 2 + 10}{4}, sin (u) = \frac{2 + 10}{4}

sin (u) = - \frac{- 2 + 10}{4} : u = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

sin (u) = - \frac{- 2 + 10}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (u) = - \frac{- 2 + 10}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (u) = - \frac{- 2 + 10}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

u = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

u = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

sin (u) = \frac{2 + 10}{4} :

Keine Lösung

sin (u) = \frac{2 + 10}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

u = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

2 sin (u) - cos (2 u) = 0 : u = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

2 sin (u) - cos (2 u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (2 u) + sin (u) 2

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - (1 - 2 sin^{2} (u)) + 2 sin (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= - 1 + 2 sin^{2} (u) + 2 sin (u)

- 1 + 2 sin^{2} (u) + sin (u) 2 = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 2 sin^{2} (u) + sin (u) 2 = 0

Angenommen:

sin (u) = u

- 1 + 2 u^{2} + u 2 = 0

- 1 + 2 u^{2} + u 2 = 0 : u = \frac{- 2 + 10}{4}, u = \frac{- 2 - 10}{4}

- 1 + 2 u^{2} + u 2 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm ( 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm ( 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 10

(2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 2 + 8

Addiere die Zahlen:

2 + 8 = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 10}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 10}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 10}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 10}{2 \cdot 2} : \frac{- 2 + 10}{4}

\frac{- 2 + 10}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 10}{4}

u = \frac{- 2 - 10}{2 \cdot 2} : \frac{- 2 - 10}{4}

\frac{- 2 - 10}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 10}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 2 + 10}{4}, u = \frac{- 2 - 10}{4}

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = \frac{- 2 + 10}{4}, sin (u) = \frac{- 2 - 10}{4}

sin (u) = \frac{- 2 + 10}{4}, sin (u) = \frac{- 2 - 10}{4}

sin (u) = \frac{- 2 + 10}{4} : u = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

sin (u) = \frac{- 2 + 10}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (u) = \frac{- 2 + 10}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (u) = \frac{- 2 + 10}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

u = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

u = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

sin (u) = \frac{- 2 - 10}{4} :

Keine Lösung

sin (u) = \frac{- 2 - 10}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

u = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn, u = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn : x = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn : - arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 πn

arcsin (- \frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{10 - 2}{4}) = - arcsin (\frac{10 - 2}{4})

= - arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 πn

\frac{x}{2} = - arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = - arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

- 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 \cdot 2 πn : - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

- 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

x = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

x = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

x = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn : x = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = π + arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 π + 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

x = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn : x = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

x = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn : x = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = π - arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 π - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn

x = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

x = - 2 arcsin (\frac{10 - 2}{4}) + 4 πn, x = 2 π + 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn, x = 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn, x = 2 π - 2 arcsin (\frac{- 2 + 10}{4}) + 4 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn, x = 2 π + 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn, x = 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn, x = 2 π - 2 \cdot 0.45227 \dots + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(a)=0.7

tan (a) = 0.7

8sin(x)-4csc(x)=0

8 sin (x) - 4 csc (x) = 0

6cos^2(x)+5sin(x)-2=0

6 cos^{2} (x) + 5 sin (x) - 2 = 0

(tan^2(b)+1)/(tan(b))=csc^2(b)

\frac{tan ^{2} ( b ) + 1}{tan ( b )} = csc^{2} (b)

solvefor x,r+s+6t=cos(2x+y)

so l v e f or x, r + s + 6 t = cos (2 x + y)