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Beliebt Trigonometrie >

3tan^3(x)-tan^2(x)-tan(x)-1=0

Lösung

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Angenommen:

tan (x) = u

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0

Faktorisiere

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 : (u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 3

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 3

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 3}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1}

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{3 u ^{3}}{u} = 3 u^{2}

Quotient = 3 u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

3 u^{2} : 3 u^{3} - 3 u^{2}

Substrahiere

3 u^{3} - 3 u^{2}

von

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u^{2} - u - 1

Deshalb

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{2} - u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

u - 1

mit

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

2 u^{2} - 2 u

von

2 u^{2} - u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u - 1

Deshalb

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multipliziere

u - 1

mit

1 : u - 1

Substrahiere

u - 1

von

u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

Vereinfache

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 12 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

Faktorisiere

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 22 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

Schreibe

\frac{- 1 + 2 i}{3}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

Faktorisiere

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 22 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

Schreibe

- \frac{1 + 2 i}{3}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Die Lösungen sind

u = 1, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 1, tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

tan (x) = 1, tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

Keine Lösung

tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

Keine L \overset{o}{¨} sung

tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

Keine Lösung

tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x+60)=cos(x)

cos (2 x + 60) = cos (x)

3tan(x)-3cot(x)-1=0

3 tan (x) - 3 cot (x) - 1 = 0

5sin^2(x)+6cos(x)-6=0

5 sin^{2} (x) + 6 cos (x) - 6 = 0

sin^2(x)-sin(x)cos(x)-6cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x) = 0

5cos^2(x)+3sin(x)-3=0

5 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3 = 0