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Popular Trigonometria >

4sin^2(x)+2cos(x)+a=3

Solução

4 sin^{2} (x) + 2 cos (x) + a = 3

Solução

x = arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn

Passos da solução

4 sin^{2} (x) + 2 cos (x) + a = 3

Subtrair

3

de ambos os lados

4 sin^{2} (x) + 2 cos (x) + a - 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 3 + a + 2 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 + a + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 3 + a + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + a + 1

- 3 + a + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 3 + a + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 3 + a + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + a + 1

- 3 + a + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + a - 3 + 4

Somar/subtrair:

- 3 + 4 = 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + a + 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + a + 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + a + 1

1 + a + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 + a + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 + a + 2 u - 4 u^{2} = 0

1 + a + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}, u = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

1 + a + 2 u - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u + 1 + a = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} + 2 u + 1 + a = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = 2, c = 1 + a

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( 1 + a )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( 1 + a )}{2 ( - 4 )}

Simplificar

2^{2} - 4 (- 4) (1 + a) : 2 4 a + 5

2^{2} - 4 (- 4) (1 + a)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 (1 + a)

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 = 16

= 2^{2} + 16 (a + 1)

Fatorar

2^{2} + 16 (1 + a) : 4 (4 a + 5)

2^{2} + 16 (1 + a)

Reescrever como

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 4 (1 + a)

Fatorar o termo comum

4

= 4 (1 + 4 (1 + a))

Expandir

4 (a + 1) + 1 : 4 a + 5

1 + 4 (1 + a)

Expandir

4 (1 + a) : 4 + 4 a

4 (1 + a)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = 1, c = a

= 4 \cdot 1 + 4 a

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 + 4 a

= 1 + 4 + 4 a

Somar:

1 + 4 = 5

= 4 a + 5

= 4 (4 a + 5)

= 4 (4 a + 5)

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n ab = n a n b,

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= 4 4 a + 5

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 4 a + 5

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 4 a + 5}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 4 a + 5}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 4 a + 5}{8}

Cancelar

\frac{- 2 + 2 4 a + 5}{8} : \frac{4 a + 5 - 1}{4}

\frac{- 2 + 2 4 a + 5}{8}

Fatorar

- 2 + 2 4 a + 5 : 2 (- 1 + 5 + 4 a)

- 2 + 2 4 a + 5

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 2 5 + 4 a

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + 5 + 4 a)

= \frac{2 ( - 1 + 5 + 4 a )}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}

= - \frac{4 a + 5 - 1}{4}

= - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )} : \frac{4 a + 5 + 1}{4}

\frac{- 2 - 2 4 a + 5}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 4 a + 5}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 4 a + 5}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 - 2 4 a + 5}{8}

Cancelar

\frac{- 2 - 2 4 a + 5}{8} : - \frac{4 a + 5 + 1}{4}

\frac{- 2 - 2 4 a + 5}{8}

Fatorar

- 2 - 2 4 a + 5 : - 2 (1 + 5 + 4 a)

- 2 - 2 4 a + 5

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 - 2 5 + 4 a

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (1 + 5 + 4 a)

= - \frac{2 ( 1 + 5 + 4 a )}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{4 a + 5 + 1}{4}

= - (- \frac{4 a + 5 + 1}{4})

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{4 a + 5 + 1}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}, u = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}, cos (x) = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

cos (x) = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}, cos (x) = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

cos (x) = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4} : x = arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4 a + 5 + 1}{4} : x = arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{4 a + 5 + 1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 4 a + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{4 a + 5 + 1}{4}) + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos^5(x)+cos(x)+4cos^2(x)=2

cos^{5} (x) + cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 2

sin^2(x)-sin(x)+2cos^2(x)=1

sin^{2} (x) - sin (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

(sin^3(x))/(2+2(sin(x))^2)=1

\frac{sin ^{3} ( x )}{2 + 2 ( sin ( x ) ) ^{2}} = 1

solvefor x,cot^2(x)= 1/3

so l v e f or x, cot^{2} (x) = \frac{1}{3}

2+cos^2(x)=-5sin(x)

2 + cos^{2} (x) = - 5 sin (x)