integral of tan^2(ax)cos(ax)

Lösung

\int tan^{2} (a x) cos (a x) d x

\frac{1}{a} (ln ∣ tan (a x) + sec (a x) ∣ - sin (a x)) + C

Schritte zur Lösung

\int tan^{2} (a x) cos (a x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{sin ^{2} ( a x )}{cos ( a x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{sin ( u ) tan ( u )}{a} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int sin (u) tan (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a} (\int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u)

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{a} (ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u))

Setze in

u = a x

ein

= \frac{1}{a} (ln ∣ tan (a x) + sec (a x) ∣ - sin (a x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{a} (ln ∣ tan (a x) + sec (a x) ∣ - sin (a x)) + C

\int e^{x} arctan (e^{x}) d x

t an g e n t x^{2} + 8 x

\int 7 e^{5 x + e^{5 x}} d x

\int (x + 1) e^{4 x^{2} + 8 x} d x

\int [\frac{( x ^{2} + 10 x + 25 )}{( x + 5 )}] d x