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beweisen sin(180-θ)=sin(θ)

Lösung

beweisen

sin (18 0^{\circ} - θ) = sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (18 0^{\circ} - θ) = sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

sin (18 0^{\circ} - θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (18 0^{\circ} - θ)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (18 0^{\circ}) cos (θ) - cos (18 0^{\circ}) sin (θ)

Vereinfache

sin (18 0^{\circ}) cos (θ) - cos (18 0^{\circ}) sin (θ) : sin (θ)

sin (18 0^{\circ}) cos (θ) - cos (18 0^{\circ}) sin (θ)

sin (18 0^{\circ}) cos (θ) = 0

sin (18 0^{\circ}) cos (θ)

Vereinfache

sin (18 0^{\circ}) : 0

sin (18 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (18 0^{\circ}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= 0

= 0 \cdot cos (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

cos (18 0^{\circ}) sin (θ) = - sin (θ)

cos (18 0^{\circ}) sin (θ)

Vereinfache

cos (18 0^{\circ}) : - 1

cos (18 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (18 0^{\circ}) = (- 1)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= - 1 \cdot sin (θ)

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= - sin (θ)

= 0 - (- sin (θ))

Fasse zusammen

= sin (θ)

= sin (θ)

= sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 cot^{2} (x) sin^{2} (x) = 1 + 2 cos (x)

p ro v e cos (x) = cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (\frac{x}{2})

p ro v e 2 sin (z) cos (z) = sin (2 z)

p ro v e \frac{cos ( 3 θ )}{cos ( θ )} = 1 - 4 sin^{2} (θ)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} + cos (θ) = sec (θ)