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beweisen cos(x)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)

Lösung

beweisen

cos (x) = cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (\frac{x}{2})

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (x) = cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (\frac{x}{2})

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

cos (2 u) = cos^{2} (u) - sin^{2} (u)

Beweise

cos (2 u) = cos^{2} (u) - sin^{2} (u) :

Wahr

cos (2 u) = cos^{2} (u) - sin^{2} (u)

Manipuliere die linke Seite

cos (2 u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 u)

Schreibe um

= cos (u + u)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + s) = cos (s) cos (s) - sin (s) sin (s)

= cos (u) cos (u) - sin (u) sin (u)

= cos (u) cos (u) - sin (u) sin (u)

Vereinfache

cos (u) cos (u) - sin (u) sin (u) : cos^{2} (u) - sin^{2} (u)

cos (u) cos (u) - sin (u) sin (u)

cos (u) cos (u) = cos^{2} (u)

cos (u) cos (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (u) cos (u) = cos^{1 + 1} (u)

= cos^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (u)

sin (u) sin (u) = sin^{2} (u)

sin (u) sin (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (u) sin (u) = sin^{1 + 1} (u)

= sin^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (u)

= cos^{2} (u) - sin^{2} (u)

= cos^{2} (u) - sin^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

cos (x) = cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (\frac{x}{2})

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 sin (z) cos (z) = sin (2 z)

p ro v e \frac{cos ( 3 θ )}{cos ( θ )} = 1 - 4 sin^{2} (θ)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} + cos (θ) = sec (θ)

p ro v e csc (u) - sin (u) = cot (u) cos (u)

p ro v e \frac{tan ( x )}{cot ( x )} = tan^{2} (x)