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sin(pi/4-x)< 1/2

Solución

sin (\frac{π}{4} - x) < \frac{1}{2}

Solución

\frac{π}{12} + 2 πn < x < \frac{17 π}{12} + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{12} + 2 πn, \frac{17 π}{12} + 2 πn)

Notación decimal

0.26179 \dots + 2 πn < x < 4.45058 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sin (\frac{π}{4} - x) < \frac{1}{2}

Factorizar

- 1

desde

\frac{π}{4} - x : - (- \frac{π}{4} + x)

sin (- (- \frac{π}{4} + x)) < \frac{1}{2}

Usar la siguiente identidad:

sin (- x) = - sin (x)

- sin (- \frac{π}{4} + x) < \frac{1}{2}

Multiplicar ambos lados por

- 1

- sin (- \frac{π}{4} + x) < \frac{1}{2}

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- sin (- \frac{π}{4} + x)) (- 1) > \frac{1 \cdot ( - 1 )}{2}

Simplificar

sin (- \frac{π}{4} + x) > - \frac{1}{2}

sin (- \frac{π}{4} + x) > - \frac{1}{2}

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < (- \frac{π}{4} + x) < π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a < u < b

entonces

a < u and u < b

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < - \frac{π}{4} + x and - \frac{π}{4} + x < π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < - \frac{π}{4} + x : x > 2 πn + \frac{π}{12}

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < - \frac{π}{4} + x

Intercambiar lados

- \frac{π}{4} + x > arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

- \frac{π}{4} + x > - \frac{π}{6} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

- \frac{π}{4} + x > - \frac{π}{6} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4} > - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4} > - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4} : x

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} > 0

= x

Simplificar

- \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{12}

- \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn - \frac{π}{6} + \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

6

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= - \frac{π 2}{12} + \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + π 3}{12}

Sumar elementos similares:

- 2 π + 3 π = π

= 2 πn + \frac{π}{12}

x > 2 πn + \frac{π}{12}

x > 2 πn + \frac{π}{12}

x > 2 πn + \frac{π}{12}

- \frac{π}{4} + x < π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x < \frac{17 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{4} + x < π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : π + \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Aplicar la regla

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6} + 2 πn

- \frac{π}{4} + x < π + \frac{π}{6} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

- \frac{π}{4} + x < π + \frac{π}{6} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4} < π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4} < π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4} : x

- \frac{π}{4} + x + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} < 0

= x

Simplificar

π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4} : π + 2 πn + \frac{5 π}{12}

π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= π + 2 πn + \frac{π}{6} + \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

6

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 2}{12} + \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π 3}{12}

Sumar elementos similares:

2 π + 3 π = 5 π

= π + 2 πn + \frac{5 π}{12}

x < π + 2 πn + \frac{5 π}{12}

x < π + 2 πn + \frac{5 π}{12}

x < π + 2 πn + \frac{5 π}{12}

Simplificar

π + \frac{5 π}{12} : \frac{17 π}{12}

π + \frac{5 π}{12}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 12}{12}

= \frac{π 12}{12} + \frac{5 π}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 12 + 5 π}{12}

Sumar elementos similares:

12 π + 5 π = 17 π

= \frac{17 π}{12}

x < \frac{17 π}{12} + 2 πn

Combinar los rangos

x > 2 πn + \frac{π}{12} and x < \frac{17 π}{12} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{12} + 2 πn < x < \frac{17 π}{12} + 2 πn

Ejemplos populares

cos^2(x)>14

cos^{2} (x) > 14

cos(y)>=-1

cos (y) \geq - 1

3cos(3 x/2-pi/4)-1>0

3 cos (3 \frac{x}{2} - \frac{π}{4}) - 1 > 0

2sin(x)<= 1,2cos(x)<sqrt(3)

2 sin (x) \leq 1, 2 cos (x) < 3

solvefor θ,3r^2cos^2(θ)+r^2sin^2(θ)<= 1 resolver para

θ, 3 r^{2} cos^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ) \leq 1