English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

15sin(x)+6cos(x)-3=0

Lösung

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

Lösung

x = π - 0.56728 \dots + 2 πn, x = - 0.19372 \dots + 2 πn

Grad

x = 147.49691 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 11.09973 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

Subtrahiere

6 cos (x)

von beiden Seiten

15 sin (x) - 3 = - 6 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(15 sin (x) - 3)^{2} = (- 6 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(- 6 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(15 sin (x) - 3)^{2} - 36 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 (1 - sin^{2} (x)) : 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

(- 3 + 15 sin (x))^{2} - 36 (1 - sin^{2} (x))

(- 3 + 15 sin (x))^{2} : 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 3, b = 15 sin (x)

= (- 3)^{2} + 2 (- 3) \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2}

Vereinfache

(- 3)^{2} + 2 (- 3) \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2} : 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

(- 3)^{2} + 2 (- 3) \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= (- 3)^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 15 sin (x) + (15 sin (x))^{2}

(- 3)^{2} = 9

(- 3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2}

3^{2} = 9

= 9

2 \cdot 3 \cdot 15 sin (x) = 90 sin (x)

2 \cdot 3 \cdot 15 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 \cdot 15 = 90

= 90 sin (x)

(15 sin (x))^{2} = 225 sin^{2} (x)

(15 sin (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 1 5^{2} sin^{2} (x)

1 5^{2} = 225

= 225 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 36 (1 - sin^{2} (x)) : - 36 + 36 sin^{2} (x)

- 36 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 sin^{2} (x)

= 9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 + 36 sin^{2} (x)

Vereinfache

9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 + 36 sin^{2} (x) : 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

9 - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) - 36 + 36 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 90 sin (x) + 225 sin^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) + 9 - 36

Addiere gleiche Elemente:

225 sin^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) = 261 sin^{2} (x)

= - 90 sin (x) + 261 sin^{2} (x) + 9 - 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

9 - 36 = - 27

= 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

= 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

= 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) - 27

- 27 + 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 27 + 261 sin^{2} (x) - 90 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 27 + 261 u^{2} - 90 u = 0

- 27 + 261 u^{2} - 90 u = 0 : u = \frac{5 + 4 7}{29}, u = \frac{5 - 4 7}{29}

- 27 + 261 u^{2} - 90 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

261 u^{2} - 90 u - 27 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

261 u^{2} - 90 u - 27 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 261, b = - 90, c = - 27

u_{1, 2} = \frac{- ( - 90 ) \pm ( - 90 ) ^{2} - 4 \cdot 261 ( - 27 )}{2 \cdot 261}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 90 ) \pm ( - 90 ) ^{2} - 4 \cdot 261 ( - 27 )}{2 \cdot 261}

(- 90)^{2} - 4 \cdot 261 (- 27) = 727

(- 90)^{2} - 4 \cdot 261 (- 27)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 90)^{2} + 4 \cdot 261 \cdot 27

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 90)^{2} = 9 0^{2}

= 9 0^{2} + 4 \cdot 261 \cdot 27

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 261 \cdot 27 = 28188

= 9 0^{2} + 28188

9 0^{2} = 8100

= 8100 + 28188

Addiere die Zahlen:

8100 + 28188 = 36288

= 36288

Primfaktorzerlegung von

36288 : 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7

36288

36288

ist durch

236288 = 18144 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 18144

18144

ist durch

218144 = 9072 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 9072

9072

ist durch

29072 = 4536 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4536

4536

ist durch

24536 = 2268 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2268

2268

ist durch

22268 = 1134 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1134

1134

ist durch

21134 = 567 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 567

567

ist durch

3567 = 189 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 189

189

ist durch

3189 = 63 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 63

63

ist durch

363 = 21 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{6} 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 7 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2} 7

Fasse zusammen

= 727

u_{1, 2} = \frac{- ( - 90 ) \pm 72 7}{2 \cdot 261}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 90 ) + 72 7}{2 \cdot 261}, u_{2} = \frac{- ( - 90 ) - 72 7}{2 \cdot 261}

u = \frac{- ( - 90 ) + 72 7}{2 \cdot 261} : \frac{5 + 4 7}{29}

\frac{- ( - 90 ) + 72 7}{2 \cdot 261}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{90 + 72 7}{2 \cdot 261}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 261 = 522

= \frac{90 + 72 7}{522}

Faktorisiere

90 + 727 : 18 (5 + 47)

90 + 727

Schreibe um

= 18 \cdot 5 + 18 \cdot 47

Klammere gleiche Terme aus

18

= 18 (5 + 47)

= \frac{18 ( 5 + 4 7 )}{522}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

18

= \frac{5 + 4 7}{29}

u = \frac{- ( - 90 ) - 72 7}{2 \cdot 261} : \frac{5 - 4 7}{29}

\frac{- ( - 90 ) - 72 7}{2 \cdot 261}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{90 - 72 7}{2 \cdot 261}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 261 = 522

= \frac{90 - 72 7}{522}

Faktorisiere

90 - 727 : 18 (5 - 47)

90 - 727

Schreibe um

= 18 \cdot 5 - 18 \cdot 47

Klammere gleiche Terme aus

18

= 18 (5 - 47)

= \frac{18 ( 5 - 4 7 )}{522}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

18

= \frac{5 - 4 7}{29}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5 + 4 7}{29}, u = \frac{5 - 4 7}{29}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}, sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}, sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29} : x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{5 + 4 7}{29}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29} : x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{5 - 4 7}{29}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

15 sin (arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

Fasse zusammen

10.12035 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

15 sin (π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

15 sin (arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1

15 sin (x) + 6 cos (x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

15 sin (π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) + 6 cos (π + arcsin (- \frac{5 - 4 7}{29}) + 2 π 1) - 3 = 0

Fasse zusammen

- 11.77552 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 7}{29}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 - 4 7}{29}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π - 0.56728 \dots + 2 πn, x = - 0.19372 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(1+cot^2(x))=8

1 + cot^{2} (x) = 8

tan(x)-sqrt(1-2tan^2(x))=0

tan (x) - 1 - 2 tan^{2} (x) = 0

sin(x+pi/6)=(sqrt(2))/2

sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{2}{2}

2sin(4x)=sin(2x)

2 sin (4 x) = sin (2 x)

5tan^2(t)-tan(t)=0

5 tan^{2} (t) - tan (t) = 0