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Popular Trigonometría >

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

Solución

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

Restar

\frac{1}{4}

de ambos lados

sin^{2} (x) - cos (x) - \frac{1}{4} = 0

Simplificar

sin^{2} (x) - cos (x) - \frac{1}{4} : \frac{4 sin ^{2} ( x ) - 4 cos ( x ) - 1}{4}

sin^{2} (x) - cos (x) - \frac{1}{4}

Convertir a fracción:

sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 4}{4}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 4}{4}

= \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{cos ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4 - cos ( x ) \cdot 4 - 1}{4}

\frac{4 sin ^{2} ( x ) - 4 cos ( x ) - 1}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - 4 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 1 - 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

- 1 - 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 1 - 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 1 - 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

- 1 - 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1 + 4

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 4 = 3

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

3 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

3 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

3 - 4 u - 4 u^{2} = 0

3 - 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2}

3 - 4 u - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 4 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} - 4 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = - 4, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 3}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 3}{2 ( - 4 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 4) \cdot 3 = 8

(- 4)^{2} - 4 (- 4) \cdot 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 4^{2} + 48

4^{2} = 16

= 16 + 48

Sumar:

16 + 48 = 64

= 64

Descomponer el número en factores primos:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 8}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 8}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 8}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 8}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 8}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 8}{- 2 \cdot 4}

Sumar:

4 + 8 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{12}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 8}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 8}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 8}{- 2 \cdot 4}

Restar:

4 - 8 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^4(t)=1

8cos^2(x)-12sin(x)-12=0

1-cos(x)=2

8sin^2(x)+6cos^2(x)=10